Что означает лямбда в машине тьюринга

Обновлено: 05.07.2024

В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Описание машины Тьюринга

Конкретная машина Тьюринга задаётся перечислением элементов множества букв алфавита A, множества состояний Q и набором правил, по которым работает машина. Они имеют вид: q_ia_j→q_i1a_j1d_k (если головка находится в состоянии q_i, а в обозреваемой ячейке записана буква a_j, то головка переходит в состояние q_i1, в ячейку вместо a_j записывается a_j1, головка делает движение d_k, которое имеет три варианта: на ячейку влево (L), на ячейку вправо (R), остаться на месте (N)). Для каждой возможной конфигурации имеется ровно одно правило. Правил нет только для заключительного состояния, попав в которое машина останавливается. Кроме того, необходимо указать конечное и начальное состояния, начальную конфигурацию на ленте и расположение головки машины.

Пример машины Тьюринга

Приведём пример МТ для умножения чисел в унарной системе счисления . Машина работает по следующему набору правил:

Набор правил	Набор правил
q₀→q₀R	q₄a→q₄aR
q₀1→q₀1R	q₄=→q₄=R
q₀×→q₁×R	q₄1→q₄1R
q₁1→q₂aR	q₄*→q₅1R
q₂1→q₂1L	q₅→q₂L
q₂a→q₂aL	q₆a→q₆1R
q₂=→q₂=L	q₆×→q₇×R
q₂×→q₃×L	q₇a→q₇aR
q₃1 → q₄aR	q₇1→q₂aR
q₃a→q₃aL	q₇=→q₈=L
q₃→q₆R	q₈a→q₈1L
q₄×→q₄×R	q₈×→q₉H

Умножим с помощью МТ 3 на 2 в единичной системе:

В протоколе указаны начальное и конечное состояния МТ, начальная конфигурация на ленте и расположение головки машины (подчёркнутый символ).

Полнота по Тьюрингу

Можно сказать, что машина Тьюринга представляет собой простейшую вычислительную машину с линейной памятью, которая согласно формальным правилам преобразует входные данные с помощью последовательности элементарных действий.

Элементарность действий заключается в том, что действие меняет лишь небольшой кусочек данных в памяти (в случае машины Тьюринга — лишь одну ячейку), и число возможных действий конечно. Несмотря на простоту машины Тьюринга, на ней можно вычислить всё, что можно вычислить на любой другой машине, осуществляющей вычисления с помощью последовательности элементарных действий. Это свойство называется полнотой.

Один из естественных способов доказательства того, что алгоритмы вычисления, которые можно реализовать на одной машине, можно реализовать и на другой, — это имитация первой машины на второй.

Имитация заключается в следующем. На вход второй машине подаётся описание программы (правил работы) первой машины " width="" height="" />
и входные данные " width="" height="" />
, которые должны были поступить на вход первой машины. Нужно описать такую программу (правила работы второй машины), чтобы в результате вычислений на выходе оказалось то же самое, что вернула бы первая машина, если бы получила на вход данные " width="" height="" />
.

Как было сказано, на машине Тьюринга можно имитировать (с помощью задания правил перехода) все другие исполнители, каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

На машине Тьюринга можно имитировать Варианты машины Тьюринга

Модель машины Тьюринга допускает расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями. Однако все эти машины являются полными по Тьюрингу и моделируются обычной машиной Тьюринга.

Машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте

В качестве примера такого сведения рассмотрим следующую теорему: Для любой машины Тьюринга существует эквивалентная машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте.

Наконец, изменим машину Тьюринга, удвоив число её состояний, и изменим сдвиг головки считывания-записи так, чтобы в одной группе состояний работа машины была бы эквивалентна её работе в заштрихованной зоне, а в другой группе состояний машина работала бы так, как исходная машина работает в незаштрихованной зоне. Если при работе МТ встретится символ ‘*’, значит головка считывания-записи достигла границы зоны:

Двумерные машины Тьюринга

См. также

Универсальная машина Тьюринга
Вероятностная машина Тьюринга
Другие абстрактные исполнители и формальные системы вычислений

Рекурсивная функция (теория вычислимости)
Ссылки

Литература

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Машина Тьюринга. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Для того, чтобы представить простейшую машину Тьюринга, взглянем на её художественную реализацию:

Это бесконечная лента, не имеющая ни начала, ни конца, поделённая на ячейки. Для работы с ней мы используем некое управляющее устройство (автомат), для визуализации выбрана каретка. В каждый момент времени она имеет состояние qj и считывает содержимое ячейки ai. О том, что происходит в остальной части ленты, каретка не знает, соответственно оперировать она может только текущими данными. Всего возможно три типа действий, зависящий от этой композиции:

выполнить сдвиг на соседнюю ячейку;
записать в текущую новое содержимое;
изменить состояния.

Что-то похожее реализовано в электронных таблицах: там тоже условно неограниченное поле, вы можете изменить значение ячейки, изменить действие или перейти на другую ячейку.

Множества A = и Q = являются конечными, a0 – символ пустой ячейки, q1 – начальное состояние, q0 – пассивное состояния, условие выхода машины из цикла.

Создадим таблицу для реализации алгоритма Тьюринга:

Пусть наша лента выглядит так:

Начальное положение – крайняя правая ячейка, остановка – в пустой клетке. Догадались как она будет выглядеть после завершения алгоритма?

На указанном примере всё выглядит довольно просто. Можете поиграть с увеличением алфавита, преобразованием состояний, помещением начальной позиции не в крайнюю позиции, условиями выхода из цикла и т.д. Фактически, практически любую задачу преобразования можно решить с помощью машины Тьюринга.

Зачем это программисту

Машина Тьюринга позволяет размять мозги и взглянуть на решение задачи иначе. В конечном счёте, с той же целью следует познакомиться с:

нормальным алгоритмом Маркова;
лямбда-вычислениями;
языком программирования Brainfuck.

Но машина Тьюринга – базовая теория алгоритмов, которая помогает думать не столько о средствах языка, сколько о различных путях решения задачи. Для профессионального роста – это необходимый навык.

Полнота по Тьюрингу

Тест по Тьюрингу

Алан Тьюринг остался в истории не только человеком, совершившим важное открытие во время Второй мировой войны, но и подаривший миру несколько фундаментальных теорий, которыми пользуется человечество до сих пор.

Что такое машина Тьюринга

Для того, чтобы представить простейшую машину Тьюринга, взглянем на её художественную реализацию:

выполнить сдвиг на соседнюю ячейку;
записать в текущую новое содержимое;
изменить состояния.

Создадим таблицу для реализации алгоритма Тьюринга:

Пусть наша лента выглядит так:

Зачем это программисту

нормальным алгоритмом Маркова;
лямбда-вычислениями;
языком программирования Brainfuck.

Полнота по Тьюрингу

Тест по Тьюрингу

Python lambdas - это небольшие, анонимные, суб-синтаксические работы, которые более ограничены, но короче, чем обычные функции Python.

В этой статье мы увидим все о лямбде. Мы обсудим и постараемся ответить на следующий вопрос о лямбде:

Откуда появилась лямбда
Что такое лямбда-функция
Как использовать лямбда-функцию
Когда следует избегать лямбда-функции
Альтернативы лямбда

Откуда появилась лямбда

История лямбда началась еще в 30-х годах прошлого века. Алонзо Черч, наиболее известный своим лямбда-исчислением, тезисом Черча – Тьюринга, был американским математиком и логиком, формализовавшим лямбда-исчисление. Функциональные языки берут свое начало в математической логике и лямбда-исчислении, в то время как ключевые языки программирования используют модель вычислений на основе состояний, разработанную Аланом Тьюрингом. Две вычислительные модели, лямбда-исчисление и машины Тьюринга, можно преобразовать в одну. Это сходство известно как гипотеза Черча-Тьюринга.

Функциональные языки, такие как Haskell и Lisp, наследуют лямбда-исчисление, но такие языки, как Python или C, наследуют императивное программирование.

Первоначально Python не был функциональным языком, но на более поздних этапах он принимает несколько функциональных концепций.

Я могу подробнее рассказать об истории лямбда, но это не наша основная тема для обсуждения. Итак, перейдем к следующей теме.

Что такое лямбда-функция

Лямбда-функции - это анонимные функции в Python. Лямбда-функции похожи на обычные функции. Разница между обычной функцией и лямбда-функцией заключается в том, что они могут быть определены без имени, но обычные функции определяются с помощью ключевого слова def.

Ключевое слово lambda используется для определения анонимной или лямбда-функции.

Если мы сравним лямбда-функцию и обычную функцию, то,

Лямбда - функция может принимать любое число аргументов, но может иметь только одно выражение, в то время как обычная функция имеет точное количество аргументов, которые мы объявляем в момент определения.
Лямбда-функция - это однострочные функция. Ее тело содержит выражение в той же строке, в которой оно определено. В обычных функциях, функции содержат блоки тела, в которых определены для выполнения некоторые операторы.
Поскольку лямбда - это однострочная функция, ее можно вызвать мгновенно, но обычная функция должна вызывать сама себя и требовать времени для вызова.

В приведенном выше коде показана лямбда-функция, которая дает произведение двух переменных x и y. В приведенном выше примере x - это переменная, которая будет хранить возвращаемое значение лямбда-выражения.

Части лямбда-выражения.

Ключевое слово - лямбда.

Аргументы - x и y.

Выражение - x * y

Мы можем передать аргументы функции, заключив функцию и ее аргумент в круглые скобки:

Ниже приведен пример передачи аргументов в одной строке.

Вы также можете написать лямбду без имени переменной. Итак, мы поняли, что лямбда-функцию можно писать без имени и переменной.

Как использовать лямбда-функцию

До сих пор я излогал теоритические сведения о лямбда, поэтому мы разберемся, как использовать лямбда, с помощью примеров.

Пример 1 Напишите программу для вычисления экспоненты с помощью лямбда-функции.

Чтобы решить приведенный выше пример, я создал очень красивую визуализацию, чтобы понять процесс. Вы можете решить это таким образом:

Сначала я определяю лямбда-выражение для вычисления экспоненты.
Передаю это выражение лямбда-функции, представленной квадратным прямоугольником.
Лямбда-функция представлена прямоугольником. Она даст вам результат после выполнения расчета.
Код ниже.

Я взял другие значения, но это не проблема.

Теперь я хочу обсудить здесь еще одну очень важную вещь. Лишь немногие программисты обсуждают это. Для этого я беру другой пример.

Сначала разбираемся в коде.

Я просто определил строку и сохранил ее в переменной name, которая была передана лямбда-выражению в качестве параметра.
После этого объявил лямбду, которая печатает результат.
Но результата не получил.

Это потому, что сама лямбда возвращает объект функции. В приведенном выше примере лямбда просто возвращает объект функции и место в памяти, где он хранится. И вывод, который мы получаем на консоли, - это то место.

Теперь я внесу некоторые изменения, чтобы получить желаемый результат.

Теперь, когда я запускаю код, моя внешняя функция печати пытается вызвать лямбда-функцию, а внутренняя функция вызова вызывает переменную имени. Итак, внутренняя печать дает мне строку, а внешняя печать возвращает объект из лямбда-функции.

Теперь он дает мне правильный результат, который мне нужен обоими способами.

Посмотрите, насколько напряженной была эта задача - напечатать оператор с использованием лямбда.

Здесь вам нужно понять, когда использовать лямбда, а когда избегать.

Теперь я напишу тот же код с обычной функцией.

Насколько это просто?

Когда следует избегать лямбда-функции

Итак, нам нужно избегать лямбда для простых задач и понимать использование лямбда.

Когда мы использовали лямбда-функцию, мы не использовали имя функции, и не было необходимости явно вызывать лямбда-функцию, поэтому лямбда называется анонимной функцией.

Для обычной функции мы определяем имя функции print_line, и там также есть тело, но в случае лямбда-функции тела не было. Это была одинарная линия.

Вот некоторые моменты против использования лямбда-функции в Python:

Читаемость кода
Заставлять мыслить функционально
Странный синтаксис
Загадочный стиль

Альтернативы лямбда

Понимание списков - лучшая альтернатива лямбда. В некоторых случаях лямбда-выражение используется с функциями map (), reduce () и filter (), но то же самое может быть выполнено с пониманием списка вместе с циклом for.

Данные материалы полезны при первоначальном знакомстве с понятием машины Тьюринга. Теоретический материал изложен очень лаконично и поэтому будет понятен любому человеку, желающему расширить свой кругозор. Тема раскрывается посредством многообразия примеров и задач со схематическим изображением.

Машина Тьюрингапредставляет собой гипотетический аппарат преобразования слов. Под словом понимается произвольная последовательность символов, входящих в алфавит символов (обычно это или цифры, или начальные буквы латинского алфавита).

В состав машины Тьюринга входят: 1) бесконечная лента, разделенная на ячейки, на которой записано слово; 2) управляющее устройство, которое осуществляет преобразование слова.

В каждой ячейке записывается один символ слова. Выделяется особый пустой символ. Он заполняет все ячейки слева и справа от слова. Один из символов ленты является текущим, или, говорят, что на него указывает головка. Текущий символ можно выделять цветом или указывать на него стрелкой.

Управляющее устройство характеризуется алфавитом символов, из которых может состоять слово, и множеством состояний, в котором оно может находиться. Считается, что в алфавите символов всегда присутствует пустой символ.

Работа управляющего устройства состоит из последовательно выполняющихся тактов.

Каждый такт работы состоит в следующем: 1) чтение текущего символа ленты; 2) запись на его место нового (или, в частном случае, того же самого) символа; 3) смещение головки на одну ячейку влево, вправо или отсутствие смещения; 4) переход в новое состояние (возможно, совпадающее с текущим) или происходит останов (завершение работы).

Характеристики управляющего устройства удобно записывать в виде таблицы, в которой по строкам записываются состояния, а по столбцам символы. При этом используются следующие обозначения: R- смещение головки вправо, L- смещение головки влево, N- отсутствие смещения, ! – останов (т.е. завершение работы), q₁, q₂, … - состояния, ƛ – пустой символ

Пример Машины Тьюринга. Алфавит символов состоит из . Количество состояний – 2.

Читайте также: