Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра лямбда

Обновлено: 03.07.2024

Пусть задана неоднородная система линейных алгебраических уравнений размерности m × n .

Матрица называется расширенной матрицей системы, если наряду с коэффициентами при неизвестных, она содержит столбец свободных членов. Следовательно, размерность равна m × (n+1) .

Исследование любой системы линейных алгебраических уравнений начинается с преобразования ее расширенной матрицы методом Гаусса , который основан на следующих элементарных преобразованиях:

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на действительное отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, то есть

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через r (соответственно, в системе остается r уравнений). Эти строки матрицы называются базисными.

Если r = n , то система имеет единственное решение (является совместной определенной), ее матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольному виду. Такую систему можно решить также методом Крамера и с помощью обратной матрицы .

Если r n (количество переменных в системе больше количеств а уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы r неизвестных (базисные переменные), остальные n - r неизвестных перенести в правые части (свободные переменные). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных следует заменить на свободную; полученный базисный минор снова проверить на отличие от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением.

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Заметим, что количество базисных наборов переменных системы (1.10) равно числу сочетаний из n элементов по r элементов C_n r . Так как каждому базисному набору переменных соответствует свое базисное решение, следовательно, количество базисных решений у системы также равно C_n r .

Пусть строки матрицы обозначены соответственно l ₁ ; l ₂ ;…; l_n . Строка l называется линейной комбинацией строк l ₁ ; l ₂ ;…; l_n матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа, то есть , .

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет хотя бы одно – нулевое (тривиальное) решение. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель ∆ был равен нулю. Это означает, что ранг r ее главной матрицы меньше числа n неизвестных ( r n ) . В этом случае исследование однородной системы уравнений на общее и частные решения проводится аналогично исследованию неоднородной системы. Решения однородной системы уравнений обладают важным свойством: если известны два различных решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, то их линейная комбинация также является решением этой системы. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.7. Исследовать заданную систему уравнений и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

Так как r ( A ) =2 и , то по теореме 1.3 (Кронекера-Капелли) заданная система линейных алгебраических уравнений совместна. Количество переменных n =2 , т.е. r n , значит, система является неопределённой. Количество базисных наборов переменных системы равно . Следовательно, базисными могут быть 6 комплектов переменных: x ₁ ; x ₂ >, x ₁ ; x ₃ >, x ₁ ; x ₄ >, x ₂ ; x ₃ >, x ₂ ; x ₄ >, x ₃ ; x ₄ > . Рассмотрим один из них x ₁ ; x ₂ > . Тогда систему, полученную в результате метода Гаусса, можно переписать в виде . Главный определитель . С помощью метода Крамера ищем общее решение системы.

По формулам (1.6) имеем

Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

При конкретных значениях свободных переменных из общего решения получаем частное решение системы. Например, частное решение соответствует значениям свободных переменных x ₃ = x ₄ = 17 . При x₃=0 x₄=0 получаем базисное решение системы

Алексей Тележников запись закреплена

Kat Moro

Кристина Рубцова

а если лямбда не равна 1, то надо решить систему 3х уравнений с 3мя неизвестными исходя из ранга матриц 3 и 3?

Не совсем так. Есть лямбда, при которой решений у системы нет (она не совместна). Это и нужно установить: когда?

Kat Moro ответила Алексею

Kat, при остальных лямбда система совместна, но ранги могут быть разными в зависимости от значенийе лямбда не равное минус 2.

Kat Moro ответила Алексею

Алексей, то есть при лямбде равной 1 ранг равен 1, а при остальных лямбдах (не равных -2) ранг равен 2?

Где числа называются коэффициентами системы, а числа свободными членами.

Решением системы (1.1) называется такой набор чисел , что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнения системы обращается в тождество.

Если система (1.1) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; система не имеющая ни одного решения, называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают.

Если , то система называется однородный, в противном случае она называется неоднородный.

Систему (1.1) можно записать в матричной форме:

Матрица называется расширенной матрицей системы.

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определенна она или нет. При этом возможны три варианта:

Если , то система несовместна.

Если (где n – число неизвестных), то система совместна и определенна.

Если , то система совместна и неопределенна.

Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать, например, метод Гаусса:

С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду :

где в i – ой строке ( i – 1, 2, …, r) самый левый ненулевой элемент обозначен через Полученной расширенной матрице соответствует система линейный уравнений, эквивалентная системе (1.1). При этом , и утверждения о том, что полученная система совместна (несовместна) и определена (неопределенна) верны и для системы (1.1).

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то , и система не совместна; иначе система совместна. В случае, когда система совместна, будет , где r – число ненулевых строк матриц . Если r = n (где n – число неизвестных), то система определенна, в противном случае (если r базисными ( или главными ) r переменных , а остальные n – r переменных назовем свободными. Без ограничения общности можно предположить, что главными переменными являются а свободными - Тогда матрица ( в случае когда запишется в виде:

Запишем систему уравнений, соответствующую расширенной матрице в следующем виде – перенесем все слагаемые со свободными переменными в правую часть:

где коэффициенты не равны нулю.

Пусть свободные переменные принимают значения . Тогда из последнего уравнения системы (1.2) переменная однозначно выражается через :

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (1.2), получим выражение, однозначно задающее через .

Задания для самоконтроля.

Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найдите её общее и одно частное решение:

3. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частного решение:

4. Исследовать систему линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений для совместных систем найти общее и оно частное решения.

21. Исследовать систему из n линейных уравнений, найти общее и одно частное решение.

Исследовать систему из n линейных уравнений, найти общее и одночастное решение:

Исследовать систему линейных уравнений в зависимости от параметра . В случае, когда система совместна, найти общее и одно частное решение:

Решить систему уравнений

имеет единственное решение. Доказать ,что abc ≠ 0, и решить систему.

34. Система линейных уравнений записана в матричной форме: AX = B. Известны два частных решения этой системы и . Как выглядит система, имеющая одним из решений:

б) ( - некоторое число)?

35. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от параметров a, b, c, d:

Решение систем линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме:

где A = () – матрица коэффициентов системы размера n x n,

X = - столбец неизвестных, B = - столбец свободных членов.

Если D – определитель матрицы A – не равен нулю, то система совместна и определена, её решение задаётся формулой:

Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:

где - определитель, получающийся из D заменой k-го столбца на столбец свободных членов.

36. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

37 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы :

Найти решение линейной систем уравнений, используя обратную матрицу и формулы Крамера. Указать те значения параметров (a и b), при которых указанными методами систему решить невозможно:

50. Найти неизвестный коэффициент многочлена f ( x )= ax 2 + bx + c ,удовлетворяющего условиям:

51. Найти неизвестный коэффициент функции f ( x )= a + bx + c ,удовлетворяющей условиям:

f (0)=2 , f (1)=-1, f (2)=4.

Решить системы уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

64. Найти неизвестные коэффициенты многочлена , удовлетворяющего условиям:

65. Найти неизвестные коэффициенты функции , удовлетворяющей условиям:

2. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Пусть дана однородная система линейных уравнений:

или в матричной форме

Однородная система всегда совместна, так как существует тривиальное решение Однородная система неопределенна тогда и только тогда, когда .

Положим . Пусть общее решение системы (3.1) записано в виде

где – главные переменные, – значения свободных переменных . Выберем решений системы (3.1), полученных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных переменных полагается равным 1, а остальные – равными 0:

Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решения однородной системы. Они обладают следующим свойством :

Любое решение Х системы может быть единственным образом представлено в виде :

Где - некоторые числа.

Любой набор из n-r решений системы, обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений системы.

Набор из n-r произвольных решений системы

Образует фундаментальную систему решений тогда и только тогда, когда матрица, составленная их их компонентов имеет ранг n-r

Пусть дана некоторая неоднородная система линейных уравнений

а АХ=0 система соответствующая ей однородная система. Общее решение системы может быть представлено в виде суммы общего решения системы и какого-то одного (частного) решения системы.

Задания для самоконтроля:

Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений :

Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений в зависимости от параметра :

Контрольная работа

1 .Исследовать систему уравнений на совместимость и определенность, не решая ее. Указать главные( базисные ) и свободные переменные.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решение.

3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.

Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные.

Решите систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения

Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.

Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные(базисные) и свободные переменные.

Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.

Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.

Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные(базисные) и свободные переменные.

Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.

Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1: Элементы линейной алгебры: матрицы, определители, системы линейных уравнений

Составить две матрицы А и В третьего порядка, продолжить заданное матричное равенство и проверить его справедливость (варианты заданий см. в приложении 1).

Вычислить определитель четвертого порядка, разложив его по элементам первой строки и по элементам любого столбца. Убедиться в правильности вычислений, сопоставив результаты (варианты заданий - приложение 2).

Решить по правилу Крамера неоднородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными (варианты заданий - приложение 3).

Решить систему линейных уравнений (из пункта 3) методом обратной матрицы. Сравнить полученные результаты с результатами пункта 3

Составить и решить матричное уравнение, где А и В невырожденные матрицы второго порядка. Полученное решение проверить подстановкой.

Решить систему линейных уравнений (из пункта 3) методом Гаусса.

Найти общее решение каждой из двух систем линейных уравнений (варианты заданий - приложение 4).

Решить матричное уравнение (для нечетных вариантов), (для четных вариантов) или доказать, что решения не существует (Матрицы А, В и варианты заданий приведены в приложении 5).

Рангом матрицы (обозначается ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг нулевой матрицы полагается равным нулю по определению.

Для любой прямоугольной матрицы ранги ее систем векторов- строк и векторов- столбцов совпадают и равны рангу матрицы.

называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как одним из ее частных решений является нулевое решение.

Для того, чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности , где - ранг матрицы системы. Любой базис пространства решений однородной системы называется фундаментальной системой решений этой системы.

Пример 1. Найдите ранг матрицы в зависимости от значения параметра

Решение. При помощи элементарных преобразований, не изменяющих ранг, приведем матрицу к ступенчатому виду. Прибавив ко второй строке первую, к третьей- первую, умноженную на , к четвертой- первую, получим:

Если , то

Рассмотрим теперь случай, когда :

Очевидно, что если , то .

Пример 2. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений с матрицей системы из примера 1.

Решение. Размерность пространства решений равна

Пример 3. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений из примера 1.

Решение. Если система имеет только нулевое решение.

Пусть . Тогда, как было показано в примере 1,

.

Пространство решений одномерное и фундаментальная система решений состоит из одного вектора. Из находим:

- свободная переменная.

Общее решение имеет вид:. Фундаментальная система решений:.

Пусть теперь . В этом случае

,

пространство решений двумерное и фундаментальная система решений состоит из двух векторов. Из получаем:

- свободные переменные;

.

Общее решение имеет вид: .

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $
ang A=
angwidetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Если $
ang A
eq
angw >Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $left(egin -1 & 1 &2\0 & 1 & k\ 0 & 0 & 1-k^2end
ight)$.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $
ang A
eq
angwidetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

$
ang A
eq
angwidetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2
eq $. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $
ang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $
ang w > $$ left . end
ight. Rightarrow left & k^2=1;\ & k
eq . end
ight. $$

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k
eq $, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

$
ang A=
angwidetilde

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

$
ang A=
angw >Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2
eq $, т.е. $k
eq $ и $k
eq $. Продолжаем решение методом Гаусса:

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Случай $k=1$

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k
eq $ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1
eq $. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $w >

Случай $k=-3$

Случай $k=1$

Случай $k
eq $ и $
eq $

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k
eq $ и $
eq $, то $(1-k)(k+3)
eq $. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac $.

При $k=-3$ система несовместна.

При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $left ,;x_3in ,;x_4in . end
ight.$

При $k
eq $ и $k
eq $ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac $.

Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра . При каких значениях система допускает решение с помощью обратной матрицы?

тогда систему можно записать в виде .

Приравнивая к нулю, найдем, что при и .

Если и , то матрица имеет обратную

и решение имеет вид .

Если аккуратно перемножить и упростить, получим .

Случаи и рассматриваются отдельно. Нужно просто подставить и решить как обычную систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами без параметров, например, методом гаусса.

Можно не использовать обратную матрицу, а применить метод редукции гаусса к расширенной матрице, учитывая, что и ,

При расширенная матрица

Следовательно решения имеют вид , или в матричном виде:

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Читайте также:


Ремонт чери тигго 4

Схема блока etwis киа спектра

Не горит дальний свет солярис

Скрипит ручка двери шкода а5

Какие колеса ставить на мотоблок для окучивания картошки