Статграфикс центурион проверка шапиро уилка

Обновлено: 05.07.2024

Задача 1. Нарисовать график функций $y = 1/x$ и $y = -1/x$ на отрезке $[1, 10]$ и закрасить область между ними.

Задача 2. Нарисовать график плотности и функций распределения $\mathcal(0, 1)$.

Задача 3. Пусть $z_$ — $\alpha$-квантиль распределения $\mathcal(0, 1)$. Нарисовать зависимость $z_$ от $\alpha$.

Проверка статистических гипотез¶

Критерий согласия Колмогорова¶

$X_1, . X_n$ — выборка с неизвестной функцией распределения $F$.

kstest(rvs, cdf, args=())

rvs — выборка;
cdf — функция распределения (сама функция или ее название);
args — параметры распределения.

statistic — статистика критерия;
pvalue — число, которое имеет следующий смысл: если меньше уровня значимости $\alpha$, то гипотеза $\mathsf_0$ отвергается, в противном случае гипотеза $\mathsf_0$ не отвергается.

Критерий Шапиро-Уилка¶

$X_1, . X_n$ — выборка.

$\mathsf_0\colon$ выборка из нормального распределения с произвольными параметрами;

$\mathsf_1\colon$ выборка не из нормального распределения.

W — статистика критерия;
pvalue — число, которое имеет следующий смысл: если меньше уровня значимости $\alpha$, то гипотеза $\mathsf_0$ отвергается, в противном случае гипотеза $\mathsf_0$ не отвергается.

Критерий Смирнова¶

$X_1, . X_n$ и $Y_1, . Y_m$ — независимые выборки (возможно разных размеров), имеющие непрерывные функции распределения $F$ и $G$ соответственно.

Вы можете поделиться своими знаниями, улучшив их ( как? ) Согласно рекомендациям соответствующих проектов .

W знак равно ( ∑ я знак равно 1 нет в я Икс ( я ) ) 2 ∑ я знак равно 1 нет ( Икс я - Икс ¯ ) 2 ^ a_ x _ \ right) ^ \ over \ sum \ limits _ ^ (x_ - >) ^ >>

В статистике , то Шапиро - Wilk тест проверяет нулевую гипотезу о том , что образец является из нормально распределенной населения . Он был опубликован в 1965 году Сэмюэлем Сэнфордом Шапиро и Мартином Уилком . Икс 1 , . , Икс нет , \ dots, x_ >

Резюме

Теория

x_{( i )} (индекс i заключен в круглые скобки ) обозначает статистику i- го порядка, т. е. i- е наименьшее число в выборке;
Икс ¯ знак равно 1 нет ( Икс 1 + ⋯ + Икс нет ) > = > (x_ + \ cdots + x_ )> - выборочное среднее;
постоянная a_i определяется выражением

и - ожидания статистик порядка выборки переменных iid в соответствии с нормальным распределением, а V - матрица дисперсии-ковариации этих статистик порядка. м 1 , . , м нет , \ dots, m_ >

В заключение сравнивается с таблицей. W

Интерпретация

Зная, что нулевая гипотеза состоит в том, что популяция распределена нормально,

Распределение значений SCL-9-NR в обоих исследованиях визуально напоминает нормальное. Графики квантилей показывают отклонение от нормальности для высоких значений индекса. При этом результаты теста Шапиро-Уилка указывают на то, что распределение статистически значимо отлично от нормального как для исследования в Киеве (W = 0,98; p 0,05]), и среднюю вероятность случайной ошибки для выборок различного размера (Xp). На основании этих показателей можно оценить соответствия распределений нормальному:

Критерий Шапиро — Уилки W применяется, если число испытаний меньше 50.

Порядок расчета критерия Шапиро и Уилки:

1. Данные измерений располагаются в порядке возрастания.

2. Находят среднее значение выборки и квадрат отклонений от среднего

3. Рассчитывают коэффициент b по следующей формуле:

В таблице 6 приведены значения адля разного числа испытаний.

a_i
n=10	0,574	0,329	0,214	0,122	0,039
n=20	0,473	0,321	0,257	0,209	0,169	0,138	0,101	0,071	0,042	0,014

4. Находят фактическое значение критерия

5. Сопоставляют полученное значение критерия W_ф с табличным значением (таблице 7).

n
W_т	0,767	0,762	0,842	0,905	0,927	0,940	0,947

Если W_ф>>W_т , то гипотеза о соответствии полученных результатов нормальному распределению не отвергается.

Пример.

Получены следующие результаты определения разрывной нагрузки хлопчатобумажной пряжи: 137; 151; 130; 128; 115; 134; 103; 127; 129; 144. Проверить соответствие результатов испытаний нормальному закону распределения.

1. Откроем новый рабочий лист и введем в диапазон А2:А11 этого листа результаты испытаний.

2. С помощью кнопки Сортировка по возрастанию упорядочим данные, хранящиеся в диапазоне А2:А11.

3. Выделим диапазон А7:А11, скопируем его содержимое в диапазон В2:В6. С помощью кнопки Сортировка по убыванию упорядочим данные, хранятся в этом диапазоне, в порядке их убывания.

4. Из таблицы 6 выберем значения коэффициентов а и введем их в диапазон С2:С6.

5. В диапазон D2:D6 введем формулу массива =С2:С6*(В2:В6-А2:А6) и нажмем на клавиши Ctrl+Shift+Enter. В ячейках этого диапазона появятся числа, сумма которых дает расчетное значение b = 40,00 (ячейка Е2).

6. С помощью функции СРЗНАЧ в ячейке F2 получим среднее значение выборки для диапазона А2:А11.

7. Для расчета S 2 сначала в диапазон G2:G11 введем формулу массива =(A2:A11-$F$2)^2 и нажмем на клавиши Ctrl+Shift+Enter. В ячейках этого диапазона появятся числа, сумма которых дает расчетное значение S 2 = 6164 (ячейка Н2).

8. Для расчета W в ячейку I2 вводим формулу =E2^2/H2. Получим W_расч = 0,26.

9. По таблице 7 находим табличное значение W_Т = 0,842.

Критерий Шапиро-Уилка

Материал из MachineLearning.

Содержание

Описание критерия

Критерий Шапиро-Уилка основан на оптимальной линейной несмещённой оценке дисперсии к её обычной оценке методом максимального правдоподобия. Статистика критерия имеет вид:

Числитель является квадратом оценки среднеквадратического отклонения Ллойда.

Коэффициенты берутся из таблиц. Ниже приведена таблица для небольших значений n и i.

n	i
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	7071
4	6872	1677
5	6646	2413
6	6431	2806	0875
7	6233	3031	1401
8	6052	3164	1743	0561
9	5888	3244	1976	0947
10	5739	3291	2141	1224	0399
11	5601	3315	2260	1429	0695
12	5475	3325	2347	1586	0922	0303
13	5359	3325	2412	1707	1099	0539
14	5251	3318	2460	1802	1240	0727	0240
15	5150	3306	2495	1878	1353	0880	0433
16	5056	3290	2521	1939	1447	1005	0593	0196
17	4968	3237	2540	1988	1524	1109	0725	0359
18	4886	3253	2553	2027	1587	1197	0837	0496	0173
19	4808	3232	2561	2059	1641	1271	0932	0612	0303
20	4734	3211	2565	2085	1686	1334	1013	0711	0422	0140
21	4634	3185	2578	2119	1736	1399	1092	0804	0530	0263

Критические значения статистики также находятся таблично.

Если , то нулевая гипотеза о нормальности распределения отклоняется при уровне значимости Приближённая вероятность получения эмпирического значения при вычисляется по формуле

где — табличные коэффициенты.

Критерий Шапиро-Франчиа

Введённая статистика имеет вид

где и — математическое ожидание i-й порядковой статистики стандартного нормального распределения. Аппроксимация где не искажает существенно критерий

Используя аппрокисмацию для квантили стандартного нормального распределения, можно записать

Была выведена полезная аппрокисмация, позволяющая применить критерий Шапиро-Уилка без помощи таблиц. Для предлагается статистика

Если то нулевая гипотеза нормальности распределения случайных величин отклоняется. Существует модификация критерия Шапиро-Уилка для случаев группированных данных (что существенно при наличии совпадающих наблюдений).

Критерий шапиро уилка в excel

Статистику критерия рассчитывают по формуле W =b 2 /nm₂. Рассчитанное значение W сравнивают с табличным W_табл. Табличные значения критерия W_табл в зависимости от уровня значимости α находят из таблиц, однако с приемлемой точностью их можно найти по зависимостям, показанным в табл. 9.2.

α	Wтабл
0,01	(-0,0148n 4 + 2,1875n 3 — 122,61n 2 + 3257,3n + 55585)/100000
0,05	(-0,0113n 4 + 1,656n 3 — 91,88n 2 + 2408,6n + 67608)/100000
0,1	(-0,0084n 4 + 1,2513n 3 — 70,724n 2 + 1890n + 73840)/100000

Если W >= Wтабл, нулевую гипотезу не бракуют, т.е. распределение считают нормальным.

Пример 9.1. По данным примера 1.1 проверить при различных уровнях значимости гипотезу о нормальности распределения предела прочности на разрыв алюминиевого сплава.

Вариант выполнения примера 9.1 показан на рисунке 9.1.

Рис. 9.1. Вариант расчёта для примера 9.1.

Вводим в электронную таблицу уровень значимости и результаты испытаний, упорядочиваем их в вариационном ряду, рассчитываем среднее значение, сумму квадратов отклонений от среднего nm₂, объём испытаний (какие при этом целесообразно задать в статистических функциях диапазоны?), а также величину k. Очевидно, что для любого (чётного и нечётного) n можно рассчитать k по формуле k=n/2 с округлением результата вниз до целого (функция ОКРУГЛВНИЗ).

Далее находим b. Для этого вначале рассчитываем значения n-i+1. Поскольку при этом, в соответствии с формулой (9.1), i = k, при расчёте используем функцию ЕСЛИ, в которой логическим выражением будет n-i+1>= k (т.е. ссылка на ячейку столбца G). При истинности этого выражения значение x_n-i+1 находим при помощи функции ИНДЕКС, при ложности значение не задаём. Затем находим x 2 и W. Рассчитываем табличные значения критерия для различных уровней значимости по формулам табл. 7.2. Из этих значений выбираем необходимое Wтабл в соответствии с заданным уровнем значимости, используя трижды функции ЕСЛИ.

Затем, если n Читать еще: Рабочий лист ms excel состоит из

При правильном выполнении электронная таблица должна вер-но пересчитываться при вводе других данных в пределах применимо-сти критерия Шапиро-Уилка.

Задание.
1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 9.1.
2. Выборочные значения случайных величин, полученные по результатам испытаний, показаны в табл. 9.3.

Предполагается, что случайные величины распределены нормально.. Используя созданные электронные таблицы, исключить грубые ошибки по критерию Ирвина, проверить нормальность распределений, в случае нормального распределения рассчитать интервальные оценки параметров этих распределений. Результаты занести в таблицу 9.4.

№ выборки	Грубые ошибки	Распределение (норм/не норм)	Оценка М		Оценка σ
№ выборки	Грубые ошибки	Распределение (норм/не норм)	точечная	Интерв.	точечная	Интерв.
1	.	.	.	.	.	.
2	.	.	.	.	.	.
3	.	.	.	.	.	.

Далее Содержание

Критерий Шапиро–Уилка

Критерий Шапиро–Уилка (Shapiro–Wilk test) используется для проверки гипотезы о нормальном распределении.

Пример использования критерия Шапиро–Уилка в R

Загрузим библиотеку quantmod для скачивания котировок:

Получим котировки индекса S&P500 с сайта Yahoo Finance:

Рассчитаем массив относительных приращений цен закрытия (Close) по формуле (Delta C_i = (C_ — C_ ) / C_ ) :

Для проверки выведем котировки за 4 последних дня и относительные приращения цен закрытия за последние 3 дня:

Проверим значения относительных приращений цен закрытия по нашей формуле и убедимся, что всё считается верно.

Построим график относительных приращений цен закрытия:

Результат показан на рис. 1.

Рис. 1. График относительных приращений цен закрытия индекса S&P500

Рассчитаем плотность вероятности для относительных приращений цен закрытия:

Построим график плотности вероятности (рис. 2):

Рис. 2. График плотности вероятности для относительных приращений цен закрытия индекса S&P500

Построим гистограмму плотности вероятности (рис. 3):

Рис. 3. Гистограмма распределения относительных приращений цен закрытия индекса S&P500

Применим критерий Шапиро-Уилка для проверки нормальности распределения:

Построим график КК (квантиль-квантиль) для визуальной проверки нормальности распределения:

Если распределение нормальное, то все точки сосредоточились бы на базовой прямой, проходящей под углом 45 градусов. Получим график, показанный на рис. 4. Как видим, имеют место значительные отклонения от базовой прямой.

Рис. 4. График квантиль-квантиль для относительных приращений цен закрытия индекса S&P500

Для проверки сгенерируем 100 чисел, распределённых по нормальному закону, применим к ним тот же тест и построим график КК:

Получим p-значение = 0.8158. На графике КК (рис. 5) все точки группируются вдоль базовой прямой. Таким образом, оба способа проверки (численный и визуальный) не дают повода отклонять гипотезу о нормальности данной последовательности (что и следовало ожидать, ведь мы изначально генерировали числа, подчиняющиеся нормальному закону).

Рис. 5. График квантиль-квантиль для случайной последовательности чисел, распределённых по нормальному закону

Для проверки сгенерируем 100 чисел, имеющих распределения хи-квадрат с 3-мя степенями свободы, применим к ним тот же тест и построим график КК:

Получим p-значение = 1.47e-07. Как видно, p-значение оказалось меньше, чем 0,05, т.е. мы должны отвергнуть гипотезу о нормальности распределения. Более того, на графике КК многие точки далеко отходят от базовой прямой (рис. 6).

Рис. 6. График квантиль-квантиль для случайной последовательности чисел, подчиняющихся распределению хи-квадрат

Итак, можно утверждать, что относительные приращения цен закрытия индекса S&P500 не распределены по нормальному закону.

Найдём мат.ожидание и среднеквадратичное отклонение и выведем их в консоль:

Получим 0.00053 (можно считать нулевым) и 0.01013.

Снова построим график относительных приращений цен закрытия:

Добавим на график уровни для двух стандартных отклонений (как говорят, две сигмы; зелёные толстые сплошные линии на рис. 7):

Добавим уровни для трёх стандартных отклонений (три сигмы; красные тонкие штриховые линии на рис. 7):

Можно заключить, что относительные приращения цен закрытия индекса S&P500 редко выходят за ограничивающие уровни.

Рис. 7. Относительные приращения цен закрытия индекса S&P500 редко выходят за ограничивающие уровни

Для нормального распределения известен факт: вероятность того, что случайные числа, распределённых по нормальному закону, выйдут за пределы двух сигм, составляет 0,0455 (т.е. менее 5%); а вероятность выйти за пределы трёх сигм – всего 0,0027 (т.е. меньше 0,3%).

К сожалению, как мы доказали выше, в нашем случае распределение не является нормальным. Сравним экспериментальную плотность вероятности (рис. 8, зелёная кривая) и теоретическую (красная), имеющую те же значения мат.ожидания и среднеквадратичного отклонения:

Рис. 8. Экспериментальная и теоретическая плотность вероятности относительных приращений цен закрытия

Оценим вероятность того, что относительное приращение цен закрытия выйдет за пределы двух или трёх сигм. В математической статистике для таких оценок используются квантили и функции распределения. Напомним, что кванти́ль – это значение, которое случайная величина не превышает с заданной вероятностью; а функция распределения для любого числового значения показывает вероятность того, что случайная величина окажется меньше заданного значения.

Рассчитаем квантили для приращений цен закрытия:

Сравним с квантилями нормального распределения, имеющего те же мат.ожидание и среднеквадратичное отклонение:

Как видим, на практике цены закрытия с большей вероятностью “уходят” дальше, чем это было бы в случае нормального распределения.

Оценим функцию распределения (cumulative distribution function) для относительных приращений цен закрытия:

Получим вероятности того, что относительное приращение цены закрытия S&P500 выйдет за пределы заданного количества стандартных отклонений:

Итак, вероятность того, что относительное приращение цены закрытия выйдет вверх за диапазон двух сигм, составляет 0.025 (т.е. 2.5%); за диапазон трёх сигм – 0.007 (т.е. 0.7%). Оценку вероятности выхода за нижний предел проведите самостоятельно.

Для нормального распределения с теми же параметрами:

Остаётся применить полученные знания на практике, т.е. попытаться заработать на тех закономерностях изменения цены, которые мы здесь выяснили. Конкретные торговые стратегии можно узнать во время обучения.

Читайте также: