Сколькими способами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы

Обновлено: 05.07.2024

Ответ: всего в книге 48 страниц.

3 1/3:2/3*1/5=. 4/5*2 1/2:6=. 3целых 1/5*5/8:2/7=. 26:3целых 1/4*1/16=..…. 4 целых 1/8*6/11:2целых 1/4=.

Помогите плииииииииз !! реши 2 задачи , 1 решение и 1 непонятно что ! 1. ЗАДАЧА! № 1 в овощной магазин завезли 10 равновесных ме

Задумали число, умножили на 5, из результата вычли 12 и получили 38. Какое число задумали? Решите как уравнение

дети едут на экскурсию в трех автобусах.во второй автобус село на 5человек больше, чем в первый, а в третий-на 7 человек меньше,

Длинна участка 70м а ширина 30м сколько шагов надо зделать что бы пройти по его периметру два шага составляет 1 м

В десятиэтажном доме 6 подъездов сколько всего квартир в доме если на каждом этаже 4 квартиры?как написать условие?

Основные понятия и правила комбинаторики (правила суммы и произведения)

Цели обучения: 9.3.1.3 знать определения перестановки, размещения, сочетания без повторений; 9

9.3.1.3 знать определения перестановки, размещения, сочетания без повторений;

9.3.1.4 знать формулы комбинаторики для вычисления чисел перестановок, размещений, сочетания без повторений;

Перестановки Сочетания Размещения

Перестановки Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов

Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
Pn = n!

Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Пример 1.
Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P8 = 8! = 40 320

Пример 2.
Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.

Пример 3. Имеется 12 различных книг, среди которых есть четырёхтомник одного автора

Пример 3.
Имеется 12 различных книг, среди которых есть четырёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги четырёхтомника должны находиться вместе, но в любом порядке?

Размещения Размещением из n элементов , называют конечного множества по k , где упорядоченное множество, состоящее из k элементов

Размещением

из n элементов

конечного множества по k, где

упорядоченное множество, состоящее из k

Пример 1. Из 13 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии

Пример 1.
Из 13 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Пример 2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Пример 2.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Пример 3.
Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3?

Сочетания Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k

Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать четырёх дежурных из класса, в котором 24 человек?

Пример 1.
Сколькими способами можно выбрать четырёх дежурных из класса, в котором 24 человек?

Пример 2. Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую

Пример 2.
Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета?

Пример 3. Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей…

Пример 3.
Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

Равенство: Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

порядок важен порядок неважен сочетания перестановки размещения Схема связи:

сочетания

перестановки

размещения

Различия видов соединений Перестановки из n элементов

Различия видов соединений

Перестановки из n элементов

Сколькими способами можно с помощью фломастеров цвета зелёного, красного, жёлтого, синего, голубого, черного разукрасить грани кубика?

Меняется только порядок расположения выбранных элементов

Сочетания
из m элементов
по n элементов

У лесника три собаки: Астра, Вега и Граф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислите все варианты выбора лесником пары собак.

Меняется только состав входящих в комбинацию элементов, порядок их расположения не важен

Размещения из
m элементов
по n элементов

Меняется состав входящих в комбинацию элементов и важен порядок их расположения

Различие между перестановками, размещениями, сочетаниями

В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.
В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.
В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.

Проверь себя Что такое комбинаторика?

Что такое комбинаторика?
В чём состоит правило суммы?
В чём состоит правило произведения?
Что такое размещения?
Запишите формулу для нахождения числа размещений.
Что такое перестановки?
Запишите формулу для нахождения числа перестановок.
Что такое факториал?
Что такое сочетания?
Запишите формулу для нахождения числа сочетаний.
В чём различие между перестановками, размещениями, сочетаниями?

Рефлексия Я вспомнил(а) .

Я вспомнил(а) .
У меня возникли трудности с . .
Я хотел(а) бы узнать . .
Мне удалось . .
Мне бы хотелось .
…………………………………………………………

Сколькими методами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых nbsp;из вазы, в которой стоят 10 бардовых и 4 розовых гвоздики?

Дмитрий Бибиев
Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ
2019-10-29 11:07:06
0
1

Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то красноватую гвоздику можно избрать С1 10 = 10!/1!(10-1)!=10!/9!=10 методами. Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся 4 можно С2 4=4!/2!*2!=4*3/1*2=6 nbsp;методами. Потому букет из одной красноватой и 2-ух розовых гвоздик можно составить, по правилу умножения = 10*6= 60 nbsp;методами.

Теория вероятностей и математическая статистика − разделы математики, наиболее широко используемые в самых различных областях деятельности от маркетинговых исследований до социального прогнозирования. Для успешного овладения навыками решения прикладных задач необходимо освоить основные теоретические и практические аспекты теории вероятностей и математической статистики.

Элементы комбинаторики

При решении вероятностных задач часто используются формулы комбинаторики – одного из разделов математики, который изучает различные комбинации, составленные из заданного конечного множества различимых между собой объектов различной природы (буквы алфавита, цифры, предметы и др.).

Факториал

Определение.Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до

(3.1)

Факториал нуля равен единице

Пример 3.1.Сократить дробь:

Пример 3.2. Сократить дробь:

Перестановки

Определение. Комбинации из nэлементов множества, отличающиеся порядком, называются перестановками.

Число перестановок из n элементов обозначается P_n.

Пример 3.3. Сколькими способами можно разместить на полке три книги?

В данной задаче необходимо найти число перестановок из четырех элементов. Существует четыре варианта выбора первой книги. Далее остается три варианта выбора второй книги, два варианта третьей книги и один способ выбора четвертой книги.

Таким образом, число способов N разместить четыре книги на полке равно произведению чисел 4, 3, 2 и 1, т. е.

способа.

P₈ = 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40320 способов.

Интересно отметить, что из всех этих комбинаций только одна – спаниель – является осмысленным словом русского языка.

3.1. Сократить дробь:

а)б) в) г) д) е) ж)

3.3. Сколько различных пятизначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4 и 5?

3.4. Сколькими способами можно разместить четырех пассажиров в четырехместном купе поезда?

3.5. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Размещения

Определение. Размещениями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом или порядком.

Число размещений из n элементов по k принято обозначать

Пусть необходимо найти число размещений из n элементов по k. Существует n способов выбора первого элемента. После того как он выбран, остается (n − 1) способ выбора второго элемента. Для выбора третьего элемента остается (n − 2) способа, и вообще после выбора элементов от первого до (k − 1)-го остается (n – k + 1) способов для выбора k-го элемента. Таким образом, имеем

A_n k = n × (n − 1) × (n − 2) ×…× (n – k + 1). (3.3)

Домножив и разделив правую часть формулы (3.3) на (n − k)!, получим:

(3.4)

Заметим, что понятие перестановок можно определить используя понятие размещений.

Определение.Размещения из n элементов по n называются перестановками.

Действительно, учитывая (3.3), имеем:

P_n = A_n n = n × (n − 1) × (n − 2) ×…× (n – n + 1) = n!.

Используя формулу (3.4), получим тот же результат:

С помощью данного соотношения легко объяснить, почему принято считать 0!=1.

Пример 3.5.Сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторений, можно составить из 32 букв русского алфавита?

В данной задаче необходимо найти число размещений из 32 элементов по 2 по формуле (3.3):

двухбуквенных комбинаций.

Пример 3.6.Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

По условию задачи расписание на один день должно быть составлено из 6 различных уроков, а всего 10 предметов. Поскольку важен порядок расположения уроков в расписании (какой урок первый, какой − второй и т. д.), следовательно, необходимо найти число размещений из 10 элементов по 6. Таким образом, в соответствии с формулой (3.4) получим:

3.6. Сколько различных шестизначных телефонных номеров, не содержащих одинаковых цифр, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?

3.7. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать трех учащихся для участия в олимпиадах по математике, русскому языку и биологии?

3.8. В соревнованиях по бегу принимают участие 20 спортсменов. Сколькими способами могут быть распределены между участниками первое, второе и третье места?

Сочетания

Определение. Сочетаниями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом.

Число сочетаний из n элементов по k принято обозначать

Из определения сочетаний следует, что они отличаются друг от друга только элементами, и поэтому сочетания еще называют выборками.

Для вычисления рассмотрим размещения из n элементов по k и объединим в отдельные группы комбинации, которые содержат k одинаковых элементов и отличаются только порядком этих элементов. Каждая группа будет содержать P_k = k! элементов, поэтому справедливо равенство:

Отсюда с учетом формул (3.2) и (3.4) следует:

. (3.5)

Если в формуле (3.5) заменить число k на n − k, то получим:

. (3.6)

Пример 3.7. В соревновании участвуют 12 спортсменов. Сколькими способами можно выбрать трех из них для участия в первом забеге?

При выборе трех спортсменов из двенадцати порядок, в котором их будут выбирать, не играет роли, поэтому число способов, которыми можно выбрать трех из них для участия в первом забеге, найдем с помощью формулы (3.5):

способов.

3.11. В наборе 12 цветных карандашей. Сколькими способами можно выбрать четыре карандаша из этого набора?

3.12. Решить уравнение:

а) б) в) г)

Правило сложения

Правило. Если элемент из множества А можно выбрать m способами, а элемент из множества В – n способами, причем множества А и В не пересекаются, то выбрать один элемент из этих множеств можно m + n способами:

Следствие.С помощью метода математической индукции правило сложения распространяется на любое число конечных непересекающихся множеств и любое количество выбираемых из этих множеств элементов.

Пример 3.8.В урне 5 белых и 6 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать два шарика одного цвета?

В данной задаче необходимо найти число способов N, которыми можно выбрать 2 белых шара из 5 белых шаров или 2 красных шара из 6 красных шаров. Пусть A – множествобелых шаров, B – множество красных шаров, при этом множества A и B – не пересекаются. Для того чтобы найти число способов, которыми можно выбрать два элемента из множеств A или B, воспользуемся следствием правила сложения. Учитывая, что 2 элемента из 5 можно выбрать числом способов равным, а 2 элемента из 6 можно выбрать числом способов, равным и, используя формулу (3.5), имеем:

способов.

3.13. В лабораторной клетке находятся 4 белых, 5 серых и 6 черных кроликов. Сколькими способами можно выбрать одного кролика из всех, находящихся в клетке?

3.14. На парте лежат тетрадь, книга, ручка и карандаш. Сколькими способами можно выбрать один предмет?

3.15. Сколькими способами можно выбрать не менее пяти карандашей разного цвета из семи имеющихся в наборе?

3.16. В урне 3 белых, 5 синих и 7 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать три шарика одного цвета?

3.17. Некоторый комитет состоит из 12 человек. Минимальный кворум (наименьшее количество человек, которое должно присутствовать на заседании) для принятия решения составляет 8 человек. Сколькими способами может быть достигнут какой-либо кворум (на заседании должно присутствовать не менее 8 человек)?

Правило произведения

Правило. Пусть множество А состоит из элементов (a₁, a₂,…a_m), множество В – из элементов (b₁, b₂,…b_k). Из множества А выбирается один из его m элементов и независимо от него из множества В выбирается любой из его k элементов. Множество всех пар, которые можно составить из элементов множеств А и В, можно записать в следующем виде:

Таким образом, общее число N всех пар равно m × n:

Следствие.С помощью метода математической индукции правило произведения распространяется на любое число конечных множеств и любое количество выбираемых из этих множеств элементов.

Пример 3.9.В столовой предлагают два вида первых блюд, три вида вторых блюд и два вида десерта. Сколькими способами можно составить обед из трех блюд?

Обозначим множество первых блюд через А, вторых – В и третьих – С. Обозначив число способов, которыми можно составить обед из трех блюд через N и используя правило произведения, получим:

N = 2 × 3 × 2 = 12 способов.

Пример 3.10.В урне 3 красных и 4 синих шарика. Сколькими способами можно выбрать четыре шарика так, чтобы два из них были красными, а два – синими?

Обозначим множество красных шариков через А, синих– В. Обозначив число способов, которыми можно выбрать два красных шарика из множества А и два синих шарика – из множества В, через N и используя правило произведения, получим:

способов.

Пример 3.11.В урне 5 красных, 7 белых и 4 зеленых шарика. Сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными?

Обозначим множество красных шариков через А, белых– В, зеленых – C. Вопрос, поставленный в задаче можно сформулировать следующим образом: сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы было два красных шарика и один белый или два красных шарика и один зеленый или три красных шарика?

Обозначив число способов, которыми можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными через, N и, используя правила суммы и произведения, получим:

3.18. В вазе стоят пять розовых, семь красных и три белых розы. Сколькими способами можно выбрать три розы разного цвета? Сколькими способами можно выбрать три розы так, чтобы две были белые, а одна красная? Сколькими способами можно выбрать пять роз так, чтобы две из них были белыми, две красными и одна розовая?

3.19. В генетическом эксперименте использовали 4 белых, 7 красных и 5 розовых цветков гороха, которые были выбраны из имеющихся 10 белых, 10 красных и 10 розовых цветков. Сколькими способами можно было выбрать цветки для эксперимента?

3.20. В лабораторной клетке находятся 4 белых, 5 серых и 6 черных кроликов. Сколькими способами можно выбрать трех кроликов разного цвета? Сколькими способами можно выбрать шесть кроликов так, чтобы два из них были белыми, два серыми и два черными? Сколькими способами можно выбрать четырех кроликов так, чтобы два из них были белыми, один серый и один черный?

3.21. В урне 3 белых, 5 синих и 7 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать три белых шарика и один синий? Сколькими способами можно выбрать пять шариков так, чтобы два из них были белыми, два – синими и один красным?

3.22. Из 10 красных и 7 белых гвоздик нужно составить букеты из трех цветов. Сколькими способами можно это сделать?

3.23. В 9 классе обучаются 11 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами можно выбрать 5 учащихся для участия в конкурсе КВН так, чтобы в команде было не менее трех мальчиков?

3.24. На книжной полке стоит собрание сочинений из 20 томов. Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы первый и второй тома стояли рядом? Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы третий и четвертый тома не стояли рядом?

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение понятия факториала. Как вычисляется факториал натурального числа?

2. Сформулировать определение понятия перестановок. Как вычисляются перестановки?

3. Сформулировать определение понятия размещений. Как вычисляются размещения?

4. Сформулировать определение понятия сочетаний. Как вычисляются сочетания?

5. Сформулировать правило сложения. Привести примеры применения правила сложения для решения задач комбинаторики.

6. Сформулировать правило произведения. Привести примеры применения правила произведения для решения задач комбинаторики.

Читайте также: