Во сколько раз отличаются сутки на земле от суток на весте
Обновлено: 04.07.2024
Решение: Так как спутники низколетящие, то это означает, что орбиты у спутников круговые и радиус орбиты примерно совпадает с радиусом соответствующей планеты. Если обозначить массу планеты , а радиус , то ускорение свободного падения для спутника можно вычислить как , $" />
где - гравитационная постоянная. Известно, что для кругового движения со скоростью , $" />
отсюда получаем, что >. $" />
Преобразуем это выражение. \pi R^2> \pi R^2>>. = \sqrt \pi R^2 G \rho>, $" />
где - средняя плотность планеты. Плотности Земли и Юпитера известны - это г/см^3 $" />
и г/см^3 $" />
соответственно (для оценки можно взять 5 и 1), радиус Юпитера можно оценить, зная радиус Солнца (если он неизвестен, то легко "восстанавливается" либо из данных о плотности и массе Солнца (последнюю можно получить, зная радиус орбиты Земли и продолжительность года), либо из данных об угловом размере диска Солнца и расстоянии до него). В итоге оказывается, что радиус Юпитера примерно в 10 раз больше радиуса Земли, и, следовательно, скорость низколетящего спутника Юпитера будет в \approx 5 $" />
раз больше, чем скорость такого же спутника Земли.
Решение: Радиус Земли примерно равен км, поэтому астероид пролетел на расстоянии, равном 10 радиусам Земли. Немного упростим задачу - будем считать, что астероид пересекал прямую, соединяющую наблюдателя и Луну, перпендикулярно. Тогда путь , пройденный астероидом на фоне диска Луны, относится к расстоянию до него так же, как диаметр Луны к расстоянию до нее. Отсюда (если выразить все величины в радиусах Земли) = \frac, $" />
и пройденный путь радиуса Земли. Выразив его в километрах, получим, км. Теперь вспомним, что астероид двигался под углом к прямой. Так как расстояние между Землей и Луной намного больше 530 км, то можно считать, что за счет этого путь астероида на фоне диска Луны увеличился в \approx 1.4 $" />
раза. В итоге получаем путь, равный км. Так как астероид двигался со скоростью 20 км/с, время пересечения окажется равным с.
Решение: Спутники столкнулись на сравнительно небольшой высоте. С достаточной точностью можно считать, что в момент столкновения оба спутника находились в перигее (минимально возможная высота полета спутников составляет примерно 300 км, и относительная разница между расстоянием до центра Земли 7200 км и 6700 км невелика). Первая и вторая космические скорости на такой высоте также мало отличаются от > (они пропорциональны $" />
, поэтому отличие не превосходит 6%). Следовательно, минимально возможная скорость каждого спутника около 8 км/с, а максимально возможная - около 11 км/с. Если бы скорости спутников были одинаковыми и равнялись , то, так как угол между траекториями составлял , относительная скорость сближения спутников также равнялась . Отсюда очевидно, что возможная относительная скорость спутников заключена в пределах от 8 км/с до 11 км/с.
Решение: Посланный локатором сигнал распространяется в некотором телесном угле, поэтому его интенсивность падает обратно пропорционально квадрату расстояния. Интенсивность излучения, отраженного от астероида, при распространении назад к локатору также уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, поэтому интенсивность принятого локатором сигнала зависит от расстояния до объекта как $" />
. Из условия ясно, что интенсивность вернувшегося сигнала в противостоянии была в 4 раза больше, чем в квадратуре, следовательно, расстояния до астероида в противостоянии $" />
и в квадратуре $" />
связаны как = \sqrt[4] r_\text = \sqrt r_\text $" />
Вспомнив определения противостояния (Солнце, Земля и астероид находятся на одной прямой) и квадратуры (направления Солнце-Земля и Земля-астероид образуют прямой угол), можно заметить, что расстояние в противостоянии, выраженное в астрономических единицах, равно = R - 1 $" />
, где - радиус орбиты астероида (также в а.е.), а расстояние в квадратуре = \sqrt $" />
(по теореме Пифагора). Отсюда получаем уравнение \cdot (R-1) =\sqrt. $" />
Оно приводится к квадратному , корни которого равны и . Корень, равный единице, нас не устраивает по смыслу задачи, поэтому ответ один - радиус орбиты астероида равен 3 а.е.
, где - большая полуось, - период), получаем, что большую полуось орбиты Земли надо уменьшить в = (1 + 5.3/360)^ \approx 1 + \frac \cdot \frac \approx 1.01 $" />
раза. Для решения второй части задачи следует вспомнить, что продолжительность периода повторения фаз Луны - синодический лунный месяц - это не совсем то же самое, что период обращения Луны вокруг Земли. Синодический месяц связан с периодом обращения как = \frac - \frac, $" />
(тут 360 - новая продолжительность года в сутках), отюда желаемый нами период обращения = \frac = \frac \approx 27.7. $" />
Далее действуем так же, как при решении первой части задачи. В итоге получаем, что большую полуось орбиты Луны надо увеличить в = (1 + 0.4/27.3)^ \approx 1 + \frac \cdot \frac \approx 1.01 $" />
раза.
Жизнь на планете появилась 4 миллиарда лет назад, когда Земля столкнулась с небесным телом размером с планету Марс. Как утверждают американские ученые, раньше продолжительность светового дня на Земле составляла всего 4 часа. При этом планета вращалась в противоположную сторону.
Жизнь на планете появилась 4 миллиарда лет назад, когда Земля столкнулась с небесным телом размером с планету Марс, заявляют американские ученые из штата Колорадо.
Как утверждают американские ученые, раньше продолжительность светового дня на Земле составляла всего 4 часа. При этом планета вращалась в противоположную сторону.
Последствия столкновения привели не только к выбросу огромного облака обломков, послужившего образованию Луны, но и к возникновению жизни на планете. Вращение Земли значительно замедлилась, уменьшился угол наклона ее оси, а продолжительность дня увеличилось.
Для того, чтобы восстановить картину прошлого, американские ученые смоделировали планету с 12 тысячами виртуальных каменистых обломков, которые появились после столкновения. Ученые пришли к выводу, что такое количество обломков могло появиться, только в том случае, если планета раньше вращалась гораздо быстрее, чем в настоящее время.
Штука в том, что есть сутки солнечные - и есть сутки звёдные, и они действительно немного различаются. Потому что вокруг Солнца Земля вращается, а вот вокруг неподвижных звёзд - нет. Поэтому пока Земля делает свой очередной оборот вокруг собственной оси, она ещё до кучи чуть-чуть смещается по своей орбите, поэтому относительно звёзд (то есть относительно неподвижной и невращающейся системы отсчёта) Солнце немного смещается, и Земле требуется довернуться ещё чуть-чуть, чтоб оно "встало на место", то есть, например, точно на полуденный меридиан.
Проще всего это понять на собственной шкуре, обходя вокруг фонарного столба (аналог Солнца), оставаясь всё время к нему лицом. Тем самым "фонарные сутки" будут занимать весь "фонарный год". А вот относительно соседнего фонаря ("неподвижные сутки") вы сделаете полный оборот вокруг своей оси - вы то будете к нему спиной, то лицом. Поэтому "звёздных фонарных суток" при каждом таком обходе набирается ровно одни.
Вот поэтому солнечных суток в году на одни меньше, чем звёздных, и в солнечных сутках 24 часа, а в звёздных (сидерических) - чуть меньше (23 ч. 56 мин. с копейками).
Собственно, исходное определение секунды как единицы времени шло именно из солнечных суток. Поэтому можно сказать, что в сутках 24 часа по определению (современное определение секунды, вестимо, другое).
Но это ещё не всё. Земля обращается вокруг Солнца не по точной окружности, а по эллипсу. Это означает, что угловая скорость перемещения Солнца по небосводу относительно опять же неподвижных звёзд меняется в течение года (это следует из второго закона Кеплера), а вот скорость вращения Земли вокруг своей оси - практически не меняется. Поэтому точная длительность солнечных суток, измеренная по пересечению центром солнечного диска полуденного меридиана, в течение года будет немного изменяться.
§ 14. Д вижение небесных тел под действием сил тяготения
1. Закон всемирного тяготения
С огласно закону всемирного тяготения, изученному в курсе физики,
все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
F = G ,
где m 1 и m 2 — массы тел; r — расстояние между ними; G — гравитационная постоянная.
Открытию закона всемирного тяготения во многом способствовали законы движения планет, сформулированные Кеплером, и другие достижения астрономии XVII в. Так, знание расстояния до Луны позволило Исааку Ньютону (1643—1727) доказать тождественность силы, удерживающей Луну при её движении вокруг Земли, и силы, вызывающей падение тел на Землю.
Ведь если сила тяжести меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, как это следует из закона всемирного тяготения, то Луна, находящаяся от Земли на расстоянии примерно 60 её радиусов, должна испытывать ускорение в 3600 раз меньшее, чем ускорение силы тяжести на поверхности Земли, равное 9,8 м/с 2 . Следовательно, ускорение Луны должно составлять 0,0027 м/с 2 .
В то же время Луна, как любое тело, равномерно движущееся по окружности, имеет ускорение
где ω — угловая скорость Луны; r — радиус её орбиты. Если считать, что радиус Земли равен 6400 км, то радиус лунной орбиты будет составлять r = 60 • 6 400 000 м = 3,84 • 10 8 м. Звёздный период обращения Луны T = 27,32 суток, в секундах составляет 2,36 • 10 6 с. Тогда ускорение орбитального движения Луны
a = • r = • 3,84 • 10 8 м = 0,0027 м/с 2 .
Равенство этих двух величин ускорения доказывает, что сила, удерживающая Луну на орбите, есть сила земного притяжения, ослабленная в 3600 раз по сравнению с действующей на поверхности Земли.
Можно убедиться и в том, что при движении планет, в соответствии с третьим законом Кеплера, их ускорение и действующая на них сила притяжения Солнца обратно пропорциональны квадрату расстояния, как это следует из закона всемирного тяготения. Действительно, согласно третьему закону Кеплера отношение кубов больших полуосей орбит d и квадратов периодов обращения T есть величина постоянная:
= = = . = const.
Ускорение планеты равно
a = = = 4 π 2 .
Из третьего закона Кеплера следует
= ,
поэтому ускорение планеты равно
a = 4 π 2 • const .
Итак, сила взаимодействия планет и Солнца удовлетворяет закону всемирного тяготения.
2. Возмущения в движении тел Солнечной системы
З аконы Кеплера строго выполняются, если рассматривается движение двух изолированных тел (Солнце и планета) под действием их взаимного притяжения. Однако в Солнечной системе планет много, все они взаимодействуют не только с Солнцем, но и между собой. Поэтому движение планет и других тел не в точности подчиняется законам Кеплера. Отклонения тел от движения по эллипсам называются возмущениями .
Возмущения эти невелики, так как масса Солнца гораздо больше массы не только отдельной планеты, но и всех планет в целом. Наибольшие возмущения в движении тел Солнечной системы вызывает Юпитер, масса которого в 300 раз превышает массу Земли. Особенно заметны отклонения астероидов и комет при их прохождении вблизи Юпитера.
3. Масса и плотность Земли
З акон всемирного тяготения позволил определить массу нашей планеты. Исходя из закона всемирного тяготения, ускорение свободного падения можно выразить так:
g = G .
Подставим в формулу известные значения этих величин: g = 9,8 м/с 2 , G = 6,67 • 10 –11 Н • м 2 /кг 2 , R = 6370 км — и получим, что масса Земли M = 6 • 10 24 кг.
Зная массу и объём земного шара, можно вычислить его среднюю плотность: 5,5 • 10 3 кг/м 3 . С глубиной за счёт увеличения давления и содержания тяжелых элементов плотность возрастает.
4. Определение массы небесных тел
Б олее точная формула третьего закона Кеплера, которая была получена Ньютоном, даёт возможность определить одну из важнейших характеристик любого небесного тела — массу. Выведем эту формулу, считая (в первом приближении) орбиты планет круговыми.
Пусть два тела, имеющие массы m 1 и m 2 , взаимно притягивающиеся и обращающиеся вокруг общего центра масс, находятся от центра масс на расстоянии r 1 и r 2 и обращаются вокруг него с периодом T . Расстояние между их центрами R = r 1 + r 2 . На основании закона всемирного тяготения ускорение каждого из этих тел равно:
a 1 = G , a 2 = G .
Угловая скорость обращения вокруг центра масс составляет ω = . Тогда центростремительное ускорение выразится для каждого тела так:
a 1 = r 1 , a 2 = r 2 .
Приравняв полученные для ускорений выражения, выразив из них r 1 и r 2 и сложив их почленно, получаем:
G = = ( r 1 + r 2 ),
= .
Поскольку в правой части этого выражения находятся только постоянные величины, оно справедливо для любой системы двух тел, взаимодействующих по закону тяготения и обращающихся вокруг общего центра масс, — Солнце и планета, планета и спутник. Определим массу Солнца, для этого запишем выражение:
= ,
где M — масса Солнца; m 1 — масса Земли; m 2 — масса Луны; T 1 и a 1 — период обращения Земли вокруг Солнца (год) и большая полуось её орбиты; T 2 и a 2 — период обращения Луны вокруг Земли и большая полуось лунной орбиты.
Пренебрегая массой Земли, которая ничтожно мала по сравнению с массой Солнца, и массой Луны, которая в 81 раз меньше массы Земли, получим:
= .
Подставив в формулу соответствующие значения и приняв массу Земли за единицу, мы получим, что Солнце примерно в 333 тыс. раз по массе больше нашей планеты.
Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они оказывают на движение астероидов, комет или космических аппаратов, пролетающих в их окрестностях. Об определении массы звёзд см. в § 23.
П од действием взаимного притяжения частиц тело стремится принять форму шара. Если эти тела вращаются, то они деформируются, сжимаются у полюсов.
Кроме того, изменение их формы происходит и под действием взаимного притяжения, которое вызывают явления, называемые приливами . Давно известные на Земле, они получили объяснение только на основе закона всемирного тяготения.
Рис. 3.13. Схема лунных приливов
Рассмотрим ускорения, создаваемые притяжением Луны в различных точках земного шара (рис. 3.13). Поскольку точки A , B и O находятся на различных расстояниях от Луны, ускорения, создаваемые её притяжением, будут различны.
Разность ускорений, вызываемых притяжением другого тела в данной точке и в центре планеты, называется приливным ускорением.
Приливные ускорения в точках A и B направлены от центра Земли. В результате Земля, и в первую очередь её водная оболочка, вытягивается в обе стороны по линии, соединяющей центры Земли и Луны. В точках A и B наблюдается прилив, а вдоль круга, плоскость которого перпендикулярна этой линии, на Земле происходит отлив. Тяготение Солнца также вызывает приливы, но из-за большей его удалённости они меньше, чем вызванные Луной. Приливы наблюдаются не только в гидросфере, но и в атмосфере и в литосфере Земли и других планет.
Вследствие суточного вращения Земля стремится увлечь за собой приливные горбы, в то же время вследствие тяготения Луны, которая обращается вокруг Земли за месяц, полоса приливов должна перемещаться по земной поверхности значительно медленнее. В результате между огромными массами воды, участвующей в приливных явлениях, и дном океана возникает приливное трение. Оно тормозит вращение Земли и вызывает увеличение продолжительности суток, которые в прошлом были значительно короче (5—6 ч). Тот же эффект ускоряет орбитальное движение Луны и приводит к её медленному удалению от Земли. При этом приливы со стороны Земли на Луне затормозили её вращение, и она теперь обращена к Земле одной стороной. Такое же медленное вращение характерно для многих спутников Юпитера и других планет. Сильные приливы, вызываемые на Меркурии и Венере Солнцем, по-видимому, являются причиной их крайне медленного вращения вокруг оси.
6. Движение искусственных спутников Земли и космических аппаратов к планетам
В озможность создания искусственного спутника Земли теоретически обосновал ещё Ньютон. Он показал, что существует такая горизонтально направленная скорость , при которой тело, падая на Землю, тем не менее на неё не упадёт, а будет двигаться вокруг Земли, оставаясь от неё на одном и том же расстоянии. При такой скорости тело будет приближаться к Земле вследствие её притяжения как раз на столько, на сколько из-за кривизны поверхности нашей планеты оно будет от неё удаляться (рис. 3.14). Эта скорость, которую называют первой космической (или круговой), известна вам из курса физики:
v 1 = = 7,9 • 10 3 м/с = 7,9 км/с.
Рис. 3.14. Орбита искусственного спутника Земли
Практически осуществить запуск искусственного спутника Земли оказалось возможно лишь через два с половиной столетия после открытия Ньютона — 4 октября 1957 г. За время, прошедшее с этого дня, который нередко называют началом космической эры человечества, искусственные спутники самого различного устройства и назначения заняли важное место в нашей повседневной жизни. Они обеспечивают непрерывный мониторинг погоды и других природных явлений, трансляции телевидения и т. п. Спутниковая навигационная система ГЛОНАСС и другие системы глобального позиционирования позволяют в любой момент с высокой степенью точности определить координаты любой точки на Земле. Пожалуй, нет в наши дни ни одной глобальной проблемы, в решении которой не принимали участие искусственные спутники Земли (ИСЗ).
Космические аппараты (КА), которые направляются к Луне и планетам, испытывают притяжение со стороны Солнца и согласно законам Кеплера так же, как и сами планеты, движутся по эллипсам. Скорость движения Земли по орбите составляет около 30 км/с. Если геометрическая сумма скорости космического аппарата, которую ему сообщили при запуске, и скорости Земли будет больше этой величины, то КА будет двигаться по орбите, лежащей за пределами земной орбиты. Если меньше — то внутри орбиты Земли. В первом случае, если аппарат летит к Марсу (рис. 3.15) или другой внешней планете, энергетические затраты будут наименьшими, если КА достигнет орбиты этой планеты при своём максимальном удалении от Солнца — в афелии. Кроме того, необходимо так рассчитать время старта КА, чтобы к этому моменту в ту же точку своей орбиты пришла планета. Иначе говоря, начальная скорость и день запуска КА должны быть выбраны таким образом, чтобы КА и планета, двигаясь каждый по своей орбите, одновременно подошли к точке встречи. Во втором случае — для внутренней планеты — встреча с КА должна произойти в перигелии его орбиты (рис. 3.16). Такие траектории полётов называются полуэллиптическими . Большие оси этих эллипсов проходят через Солнце, которое находится в одном из фокусов, как и полагается по первому закону Кеплера.
Рис. 3.15. Траектория полёта KA к Марсу
Рис. 3.16. Траектория полёта KA к Венере
Конструкция и оборудование современных КА обеспечивают возможность совершения ими весьма сложных манёвров — выход на орбиту спутника планеты, посадка на планету, передвижение по её поверхности и т. п.
В опросы 1. Почему движение планет происходит не в точности по законам Кеплера? 2. Как было установлено местоположение планеты Нептун? 3. Какая из планет вызывает наибольшие возмущения в движении других тел Солнечной системы и почему? 4. Какие тела Солнечной системы испытывают наибольшие возмущения и почему? 5. По каким траекториям движутся космические аппараты к Луне; к планетам? 6*. Объясните причину и периодичность приливов и отливов. 7*. Будут ли одинаковы периоды обращения искусственных спутников Земли и Луны, если эти спутники находятся на одинаковых расстояниях от них?
У пражнение 12 1. Определите массу Юпитера, зная, что его спутник, который отстоит от Юпитера на 422 000 км, имеет период обращения 1,77 суток. Для сравнения используйте данные для системы Земля—Луна. 2. Ускорение силы тяжести на Марсе составляет 3,7 м/с 2 , на Юпитере — 25 м/с 2 . Рассчитайте первую космическую скорость для этих планет. 3. Сколько суток (примерно) продолжается полёт КА до Марса, если он проходит по эллипсу, большая полуось которого равна 1,25 а. е.?
Читайте также: