Показания спидометра это прямые или косвенные измерения

Обновлено: 08.07.2024

Выясним теперь, как находят числовое значение величины при измерении. Измерять длину куска ткани можно, прикладывая к нему метр, как это делается в магазинах. На рис. 1.1 показана миллиметровая сетка, на которой изображен прямоугольник со сторонами мм и мм. Площадь прямоугольника также можно измерить, укладывая внутри него образец единицы площади, например Подсчет показывает, что внутри прямоугольника содержится 120 квадратов со стороной в 1 мм, т. е. площадь прямоугольника равна

Измерение, при котором значение величины определяется непосредственным сравнением с ее единицей, называют прямым измерением. Приведенные выше примеры являются прямыми измерениями длины и площади.

Однако прямое измерение далеко не всегда дает достаточно точный результат, кроме того, оно не всегда выполнимо и удобно. На рис. 1.1 изображена окружность диаметром 7 мм. Если нужно найти длину этой окружности, то удобнее измерить не саму окружность, а ее диаметр и затем вычислить по формуле или

Если требуется измерить площадь круга, то неудобно подсчитывать число квадратных миллиметров внутри окружности. Проще и точнее, измерив диаметр, вычислить эту площадь по формуле или Измерив длину и ширину прямоугольника, его площадь можно вычислить по формуле

Измерение, при котором числовое значение величины находится по формуле путем вычисления, называется косвенным измерением. На практике (и в науке и в технике) чаще всего приходится выполнять косвенные измерения.

Прямые и косвенные измерения различают в зависимости от способа получения результата измерений. Прямое измерение - измерение, при котором искомое значение физической величины получают непосредственно. В примечании отмечено, что при строгом подходе существуют только прямые измерения и предлагается применять термин прямой метод измерений. Это предложение нельзя назвать удачным (см. далее классификацию методов измерений). Как примеры прямых измерений приведены: измерение длины детали микрометром, силы тока амперметром, массы на весах. измерение метод непосредственная сравнение

В ходе прямых измерений искомое значение величины определяют непосредственно по устройству отображения измерительной информации применяемого средства измерений. Формально без учета погрешности измерения они могут быть описаны выражением Q = х, где Q - измеряемая величина, х - результат измерения.

Косвенными измерениями называют такие измерения, при которых значение искомой величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. При косвенных измерениях измеряют не собственно определяемую величину, а другие величины, функционально с ней связанные. Значение измеряемой косвенным путем величины X находят вычислением по формуле:

где Y1, Y2, … Yn - значения величин, подученных путем прямых измерений. Примером косвенного измерения является определение электрического сопротивления с помощью амперметра и вольтметра. Здесь путем прямых измерений находят значения падения напряжения U на сопротивлении R и ток I через него, а искомое сопротивление R находят по формуле:

Операцию вычисления измеряемой величины может производить как человек, так и вычислительное устройство, помещенное в прибор.

Прямые и косвенные измерения в настоящее время широко используются в практике и являются наиболее распространенными видами измерений.

Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется, естественно, погрешностью используемых средств измерений. Поэтому в первом приближении погрешность результата измерения можно принять равной погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерений.

В общем случае задача оценки погрешности полученного результата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения Д_си (по нормативно-технической документации на используемые средства измерений) и известных значений дополнительных погрешностей Д_ДОп от воздействия влияющих величин. Условно считают, что методические и субъективные погрешности при проведении измерения не- значимы. Тогда максимальное значение суммарной погрешности результата измерения (без учета знака) может быть найдено суммированием составляющих по абсолютной величине

Более реальная оценка погрешности может быть получена статистическим сложением составляющих погрешности

где Д, — граница i неисключенной составляющей систематической погрешности, включающая в себя погрешности средства, метода, дополнительные погрешности и др.; к — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95 к = 1,11); т — количество не исключенных составляющих.

где Х_и — результат однократного измерения; A_z — суммарная погрешность результата измерений; Р — доверительная вероятность (при значении Р= 0,95 может не указываться).

При проведении измерений в нормальных условиях можно считать A_z — Aqpj.

Прямые многократные измерения

Косвенные измерения

При косвенных измерениях физической величины результат измерения находят расчетным путем на основе результатов ряда прямых измерений других величин, функционально связанных с интересующей нас величиной.

Погрешность результата косвенного измерения зависит от погрешностей каждого из прямых измерений. Это справедливо и для случайных, и для систематических погрешностей.

Для функциональной зависимости Q = f(X, Y, Z), где Q — измеряемая величина; X,Y,Z— величины, значения которых определяются прямыми измерениями, систематическая погрешность косвенного измерения AQ, используя разложение функции в ряд Тейлора и ограничиваясь только линейной частью, равна:

где А_х, А_х, А_х — систематическая погрешность измерения величин X, Y,z.

По способу получения результата измерения делятся на прямые и косвенные. Если значение физической величины находят непосредственным отсчетом по шкале прибора, то такие измерения называются прямыми (измерения давления барометром, температуры – термометром, времени – секундомером, длины – штангенциркулем или линейкой, силы тока – амперметром и т.п.). Эти измерения могут быть однократными и многократными. Многократное измерение – повторение экспериментельной операции, в результате которой получается одно из значений измеряемой величины , называемыхрезультатами наблюдений. Совокупность результатов наблюдений подлежит совместной обработке для получения результата измерения.

Часто прямое измерение физической величины оказывается невозможным или слишком трудоемким. При косвенных измерениях результат определяется по формулам на основе результатов прямых измерений других величин (например, определение электрического cопротивления образца по измеренным силе тока и напряжению). Одну и ту же величину часто можно найти путем как прямых, так и косвенных измерений. Например, скорость автомобиля может быть определена по спидометру (прямое измерение) или найдена делением пройденного пути на время движения (косвенное измерение).

При косвенных измерениях погрешность искомой физической величины накапливается из погрешностей прямых измерений величин, входящих в расчетную формулу.

Погрешности многократных прямых измерений (случайные погрешности)

Пусть изучается физическая величина и многократными измерениями получены результатов наблюдений

причем все измерения выполнены одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности. Этот ряд значений величины называется выборкой.Предположим, что на результат измерений оказывают действие только случайные (неконтролируемые) факторы, а промахи и систематические ошибки отсутствуют.

Задача экспериментатора состоит в том, чтобы найти наилучшую оценку и доверительную погрешность результата измерений для заданного значения доверительной вероятности. (При обработке экспериментальных результатов можно поступать и по–другому: произвольно задавать значение доверительной погрешности и вычислять соответствующее ей значение вероятности). Указанная задача строго решается с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются установленному Гауссом нормальному закону распределения, вид которого может быть получен на основании следующих предположений:

1) величина случайной погрешности может иметь любое значение;

2) вероятность появления погрешности снижается с ростом ее величины – большие погрешности маловероятны;

3) погрешности, равные по величине, но разные по знаку, встречаются одинаково часто – равные по модулю погрешности равновероятны.

Выведенный на основе указанных предположений закон нормального распределения случайных величин (распределение Гаусса) выражается формулой

, (3)

где – числовое значение определяемой величины,и– параметры распределения;– плотность вероятности (вероятность того, что значениепринадлежит некоторому единичному интервалу значений), так что функцияопределяет вероятность попадания значенияв интервал отдо.

Параметр , соответствующий максимуму плотности вероятности, называетсяматематическим ожиданиемслучайной величины. Параметрназываетсясредним квадратическим отклонением величиныот ее математического ожиданияи характеризует меру ее разброса относительно. Очевидно, что

т.е. вероятность того, что случайная величина вообще имеет какое–то значение, равна единице.

Поскольку максимальное значение плотность вероятностипринимает при, то величинучасто считают приблизительно равной истинному значению измеряемой величины. На рис.представлен график этой функции. Из вышесказанного ясно, что площадь заштрихованной фигуры численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадает в интервал отдо.

Рис.1. Нормальное (гауссово) распределение

(1–,2–/2,3–/4) .

Из теории следует, что наилучшей оценкой истинного значения измеряемой случайной величиныявляется среднее арифметическое (выборочное среднее) значение

. (4)

Заметим также, что с увеличением значения увеличивается разброс отсчетов, т.е. точность измерений понижается. В условиях реального эксперимента точное значение, как правило, неизвестно. По многократным измерениямможно получить приближенную оценку этого параметра в виде среднеквадратичной погрешности отдельного результатаизмерения

, (5)

которая характеризует ошибку каждого отдельного измерения и при неограниченном увеличении числа наблюдений () стремится к истинной среднеквадратичной ошибке.

Если произвести несколько серий многократных измерений, т.е. получить несколько выборок и для каждой вычислить выборочное среднее, то получим выборку для новой случайной величины , которая также распределена нормально с математическим ожиданием. Однако параметрменьше, чем:

Это означает, что выборочное среднее имеет приблизительно вменьший разброс, чем единичное измерение. Поэтому для оценкилучше использовать выборочное среднееи среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результатаизмерения, которая вычисляется по формуле

, (6)

В выражениях (5) и (6) обозначение среднеквадратичной ошибки заменено на обозначение, чтобы подчеркнуть, что величиныивычисляются на основе ограниченного числа наблюдений, т.е. являются эмпирическими оценками теоретических параметрови.

При проведении реальных технических измерений число отдельных измерений, как правило, невелико и лежит в пределах от до. В такой ситуации рассмотренный метод приводит к существенному искажению результатов. В теории погрешностей при малом числе измерений применяют специальный метод вычисления доверительного интервала, основанный на распределении Стьюдента. В 1908 г. английский математик У. Госсет (псевдоним ’’Стьюдент’’) доказал, что указанными соотношениями можно пользоваться и при небольшом числе наблюдений

(), следует только на конечной стадии ввести в расчет специальный коэффициент, величина которого зависит от числа наблюденийи требуемого значения доверительной вероятности, – так называемый коэффициент Стьюдента.

Коэффициенты Стьюдента .

Читайте также: