При каких значениях параметра лямбда квадратичная форма заданная матрицей положительно определена

Обновлено: 05.07.2024

Определение. Квадратичной формой на $\mathbb^$ называется каждая функция вида
$$Q\left(h\right) = \sum_^ a_h^h^, $$
где $a_$ — действительные числа. Матрица $\left(a_\right)$ называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что $a_=a_,$ т. е. что матрица $\left(a_\right)$ симметрична. Заметим, что $Q$ — это многочлен второго порядка от $n$ переменных $h_,\cdots ,h_.$ Ясно, что для любого действительного числа $t$
$$Q\left(th\right) = t^Q\left(h\right). $$

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Определение Квадратичная форма $Q$ называется положительно определенной, если для любого $h \neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(h\right) \gt 0.$

Аналогично, если для любого $h \neq 0$ имеем $Q\left(h\right)\lt 0,$ то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если $Q\left(h\right)\geqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется положительно полуопределенной, а если $Q\left(h\right)\leqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если $Q\left(x^<1>,x^\right) = (x^<1>)^ + 2(x^)^,$ то для всех $x^<1>,x^$ кроме $x^<1>=x^=0$, имеем $Q\left(x^<1>,x^\right) \gt 0,$ т.е. эта форма положительно определенная.

Пример 2. Если $Q\left(x^<1>,x^\right) = (x^<1>)^ — x^<1>x^ — (x^)^$ имеем $Q(1,0)=1, Q(0,1)= -1, $ так что эта форма неопределенная.

Пример 3. Если $Q\left(x^<1>,x^\right) = (x^<1>)^ — 2x^<1>x^ + (x^)^$ положительно полуопределенная, поскольку для любых $x^<1>,x^$ имеем $Q\left(x^<1>,x^\right) \geqslant 0,$ но равенство $Q\left(x^<1>,x^\right) = 0$ имеет место не только в точке $x^<1>=x^=0,$ а в каждой точке вида $x^<1>=x^$.

Пример 4. Форма $Q\left(h\right) = (h^<1>)^ + \cdots + (h^)^ = |h|^,$ очевидно, положительно определенная.

Пример 5. Пусть $Q\left(h\right) = (h^<1>)^ + \cdots + (h^)^,$ где $m \lt n$. Эта форма положительно полуопределенная, поскольку $Q(h) \geqslant 0 $, но при $i\gt m$ значений этой формы на стандартном векторе $e_$ равно нулю.

Пример 6. Пусть $Q\left(h\right) = (h^<1>)^ + \cdots + (h^)^ — (h^)^ — \cdots — (h^)^,$ где $m \lt n$. Тогда эта форма неопределенная, поскольку $Q(e_)=1$ при $i\leqslant m$ и $Q(e_)=-1,$ если $i\gt m.$

Для любой квадратичной формы $Q$ $$|Q(h)| \leqslant \sum_^ |a_| |h^| |h^| \leqslant | h^ | \sum_^ |a_| \equiv K | h^ |.$$

Эта оценка показывает, что при $h \rightarrow 0$ квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть $Q$ — положительно определенная квадратичная форма на $\mathbb^$. Тогда существует такое положительное число $\lambda ,$ что $$Q(h) \geqslant \lambda |h|^ (h \subset \mathbb^). $$

Обозначим через $S$ единичную сферу в $\mathbb^,$ т.е. $$ S=\left\.$$Легко видеть, что $S$ — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция $Q$ достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через $\lambda.$ Но на $S$ форма $Q$ принимает положительные значения, так что $\lambda \gt 0.$
Итак, $Q(x)\geqslant \lambda (|x|=1).$ Если теперь $h$ — произвольный вектор из $\mathbb^,$ то положим $ x = \frac<|h|>.$ Тогда $|x|=1,$ т.е. $x$ лежит на единичной сфере, а поэтому $Q(x)\geqslant \lambda .$ Если вместо $x$ подставим его значение, то получим $Q(\frac<|h|>)\geqslant \lambda .$ Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы $Q$, имеем $Q(h)\geqslant \lambda|h|^.$

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай $n=2.$

  1. Если $\triangle \gt 0,$ то выражение в квадратных скобках положительно для любых $h$ и $k,$ не равных одновременно нулю, т.е. $Q(h,k)\neq 0,$ причём $sign (Q(h,k)) = sign (a_).$ В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
  2. Рассмотрим случай $\triangle \lt 0.$ Пусть, например, $k\neq 0.$ Тогда вынося за скобки $k^$ и обозначая $t=\frac,$ получаем $$ Q(h,k) = k^\left[a_t^+2a_t+a_ \right].$$ Если $a_\neq 0,$ то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно $t.$ Его дискриминант $-4\triangle \gt 0.$ Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.

Если же $a_=0,$ то $a_\neq 0$(так как иначе бы получили, что $\triangle = 0$). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен $2a_t+a_,$ который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Если же $a_=0,$ то в этом случае $\triangle = -a_^.$ Значит $a_=0$ и $Q(h,k) = a_k^.$ Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если $\triangle = 0,$ то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

1) если $\triangle \gt 0$, то форма $Q$ — знакоопределенная, причём $sign (Q) = sign (a_);$

2) если $\triangle \lt 0 ,$ то $Q$ — неопределенная форма.

2) если $\triangle = 0 ,$ то $Q$ — полуопределенная форма.

Определение. Пусть $Q(h)=\sum_^a_h^h^$ — квадратичная форма на $\mathbb^$ с симметричной матрицей $$\begin a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end.$$

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это $$
\triangle_ = a_, \triangle_ = \begina_ & a_ \\a_ & a_ \end, \cdots , \triangle_ =\begin a_ & \cdots & a_ \\ \cdots & \cdots & \cdots \ \\ a_ & \cdots & a_ \end.
$$

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Критерий отрицательной определенности. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: $-\triangle_ \gt 0,\triangle_ \gt 0,\cdots ,(-1)^\triangle_ \gt 0,$ т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

  1. Найти матрицу квадратичной формы $$Q(x_,x_,x_) = 2x_^ — 4x_x_ + x_^ + 2x_x_ — x_^$$
    Решение
    1. Запишем квадратичную форму в виде $$Q(x_,x_,x_) = 2x_^ — 2x_x_ — 2x_x_ + x_^ + x_x_ + x_x_ — x_^.$$
    2. Здесь $a_=2,a_=-2,a_=1,a_=-2,a_=1,a_=0,a_=1,a_=0,a_=-1,$ следовательно, матрица этой квадратичной формы есть $$\begin 2 & -2 &1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\\ \end.$$
    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end.$$
    2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра $$
      \triangle_ = 4 \gt 0, \triangle_ = \begin4 & 3 \\3 & 6 \end = 15 \gt 0, \triangle_ =\begin 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end = 2\cdot15 = 30 \gt 0,$$ значит, квадратичная форма положительно определенная.

    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end.$$
    2. Найдём главные миноры: $$
      \triangle_ = 2 , \triangle_ = \begin2 & 2 \\2 & \lambda \end = 2\lambda — 4 , \triangle_ =\begin 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end = 6\lambda — 20.$$

    Квадратичную форму fn) называют положительно (отрицательно) определенной или положительно (отрицательно) знакопостоянной, если она на любом ненулевом векторе принимает положительное (отрицательное) значение, т.е. если



    Если квадратичная форма на любом ненулевом векторе принимает неотрицательное (неположительное) значение, т.е.

    то ее называют положительно (отрицательно) полуопреде- ленной или неотрицательной (неположительной).

    Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют неопределенной или знакопеременной.

    Если квадратичная форма f(xi,x2, . л;п) положительно определенная, то квадратичная форма —f(x 1,0:2, . хп) отрицательно определенная.

    У положительно определенной формы все коэффициенты при квадратах переменных, определитель ее матрицы и все характеристические числа матрицы положительны.

    Приведем два признака положительной (отрицательной) определенности квадратичных форм.

    • 1. Для того чтобы квадратичная форма от п переменных была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы она приводилась к каноническому виду с п положительными (отрицательными) квадратами.
    • 2. Критерий Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма от п переменных была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы А были положительными, т.е. чтобы

    Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы А квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус.


    Доказательство первого признака. Пусть квадратичная форма / в каком-либо каноническом базисе е, в2, еп имеет вид

    Если квадратичная форма положительно определенная, то для любого вектора х ^ 0 по оптеделению fix) > 0. В частности, fief) = с7; > 0, г = 1, 2, . п.

    Если в указанном каноническом виде все коэффициенты сг положительные, то для любого ненулевого вектора х с координатами


    так как все слагаемые неотрицательны, но хотя бы одно из них является ненулевым.

    Доказательство критерия Сильвестра. Критерий Сильвестра вытекает из свойств квадратичной формы, рассматриваемой в различных подпространствах данного линейного пространства. Сначала остановимся на случае положительно определенной квадратичной формы.

    Замечание. Определитель матрицы квадратичной формы в любом базисе имеет один и тот же знак. Иначе говоря, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы сохраняет знак своего определителя. Этот вывод можно сделать из равенства (9.12), в котором определитель |Q| матрицы невырожденного линейного преобразования переменных отличен от нуля. В частности, у положительно определенной квадратичной формы в любом базисе определитель матрицы положителен, так как в соответствии с первым признаком это выполняется в каноническом базисе.


    Предположим, что квадратичная форма / положительно определенная и пусть в некотором базисе е±, е^, . еп она имеет следующий вид:

    Рассмотрим квадратичную форму / как квадратичную форму Д на подпространстве Lk = (ei, 62,е*,). Тогда


    матрица квадратичной формы Д состоит из элементов матрицы А квадратичной формы /, расположенных в первых к строках и первых к столбцах, а определитель матрицы квадратичной формы Д представляет собой к-й угловой минор матрицы А. Квадратичная форма Д положительно определенная, так как в подпространстве Lk принимает те же значения, что и квадратичная форма /. Поэтому определитель квадратичной формы Д, т.е. к-й угловой минор, положителен.

    Обратное утверждение будем доказывать методом математической индукции по размерности линейного пространства. Для квадратичных форм в одномерном линейном пространстве утверждение критерия очевидно, так как квадратичная форма от одной переменной имеет вид f 1) = ац х, а ее положительная определенность равносильна условию ац > 0, т.е. положительности единственного углового минора.

    Пусть обратная часть критерия Сильвестра верна для всех квадратичных форм в (п— 1)-мерных линейных пространствах. Рассмотрим квадратичную форму / в n-мерном пространстве, и пусть в некотором базисе ei, в2, . еп квадратичная форма имеет вид (9.15). Запишем ее в виде


    где (р(хi,X2, . xn-i) — квадратичная форма от (гг — 1) переменной, составленная из всех слагаемых, не содержащих хп. Квадратичная форма / п_1, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид. По первому признаку положительной определенности все квадраты в нормальном виде квадратичной формы положительны, т.е. в выбранном базисе


    Добавив к базису е^, е^,е!п_ подпространства ?n-i вектор е!п = еп, получим базис всего линейного пространства, в котором квадратичная форма / имеет вид


    Выделим в этом выражении полные квадраты по переменным у, у2, •••?> Уп-


    где спп = Ъпп — Ьп — . — п. Таким образом, в результате невырожденной замены переменных


    квадратичная форма / приводится к каноническому виду


    Определитель матрицы квадратичной формы в каноническом виде равен произведению коэффициентов при квадратах, в данном случае равен спп. Но определитель матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису сохраняет знак. Поэтому спп имеет тот же знак, что и определитель Дп = |,4| матрицы квадратичной формы в исходном базисе, т.е. спп > 0. По первому признаку квадратичная форма с каноническим видом (9.18) является положительно определенной.

    Итак, мы показали, что, во-первых, обратное утверждение критерия Сильвестра верно для одномерных пространств, во-вторых, если оно верно для (п — 1)-мерных пространств, то оно верно и для п- мерных пространств. В соответствии с методом математической индукции заключаем, что критерий Сильвестра верен для любых конечномерных пространств.

    Перейдем к случаю отрицательно определенной квадратичной формы. Если квадратичная форма / отрицательно определенная, т.е. принимает только отрицательные значения, то квадратичная форма —/ — положительно определенная, и наоборот. Поэтому критерием отрицательной определенности квадратичной формы / с матрицей А является положительность всех угловых миноров матрицы


    квадратичной формы —/, т.е.


    Но это означает, что


    или другими словами, чередование знаков угловых миноров. ? Пример 9.2. Квадратичная форма



    с матрицей


    положительно определенная, так как все угловые миноры матрицы А

    На практике при выяснении вопроса о положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы целесообразно пользоваться критерием Сильвестра только в случае, когда квадратичная форма зависит от небольшого числа переменных. При большом же числе переменных часто более предпочтительным является первый признак, связанный с приведением квадратичной формы к каноническому виду. Это объясняется тем, что приведение квадратичной формы к каноническому виду требует примерно столько же операций, сколько нужно для вычисления лишь одного определителя матрицы квадратичной формы. Кроме того, по каноническому виду квадратичной формы можно судить о ее неопределенности (если есть положительные и отрицательные квадраты) и полуопределенности (если все члены канонического вида либо положительные, либо отрицательные, но их меньше, чем число переменных в квадратичной форме), чего нельзя сделать по критерию Сильвестра. Например, у квадратичной формы



    имеет угловые миноры


    По критерию Сильвестра можем лишь заключить, что данная квадратичная форма не является положительно (отрицательно) определенной. А по каноническому виду рассматриваемой квадратичной формы 2>^з) — (см. пример 9.1) нетрудно сделать вывод, что она знакопеременная, так как в ее каноническом виде есть положительные и отрицательные квадраты.


    При построении функции Ляпунова широко используются квадратичные формы или, в матричной форме,


    Это уравнение при г v ; 1 2

    верхности (кривые) уровня V(х) = с являются замкнутыми только при г 1 — уравнение гиперболы



    Любую квадратичную форму в матричной записи можно представить так, чтобы в ней матрица была симметрической. Поэтому всегда предполагается, что матрица, используемая при записи квадратичной формы, по определению является симметрической матрицей. Так как симметрические матрицы в методе функций Ляпунова играют важную роль, то кратко остановимся на их свойствах.

    Симметрическая матрица Q называется положительно (отрицательно)I определенной матрицей, если квадратичная форма К(х) = = x T Qx является положительно (отрицательно) определенной функцией, и положительно (отрицательно) полуопределенной матрицей, если квадратичная форма У(х) = x T Qx является положительно (отрицательно) полуопределенной функцией.

    Симметрическая матрица Q обладает следующими свойствами [21]:

    • 1) все ее собственные значения (характеристические числа), т. е. корни А* (г = 1,2. п) ее характеристического уравнения det(Q - IX) = 0 являются вещественными числами;
    • 2) если она положительно (отрицательно) определена, то все ее собственные значения являются положительными (отрицательными): Aj > О (Ai T Qx удовлетворяет неравенству

    Доказательство. Для доказательства рассмотрим задачу о минимальном и максимальном значениях квадратичной формы V(x) = x T Qx на сфере |х| 2 = г 2 . Согласно известным правилам определения условного экстремума составим функцию Лагранжа:


    Здесь Л — неопределенный множитель Лагранжа. Представим |х| 2 в виде скалярного произведения векторов:


    Необходимое условие экстремума принимает вид


    Последнее уравнение представляет собой систему однородных скалярных уравнений, и оно имеет ненулевое решение, если определитель этой системы равен нулю:



    Таким образом, квадратичная форма V(x) = x T Qx принимает экстремальные значения на сфере |х| 2 = г 2 , если х удовлетворяет уравнению

    когда Л принимает собственные значения матрицы Q. Так как матрица является симметрической, то ее собственные значения являются вещественными.

    Умножив последнее равенство слева на х т , получим


    Отсюда, если Ат — минимальное собственное значение и Хм — максимальное собственное значение матрицы Q, то


    что и требовалось доказать.

    Если квадратичная форма V(х) = x T Qx положительно определена, то, как следует из неравенства (4.1) и свойства положительно определенной матрицы, она неограниченно возрастает при стремлении точки х к бесконечности:


    Выясним, когда квадратичная форма является положительно определенной функцией, или симметрическая матрица является положительно определенной.

    Критерий Сильвестра [21 . Для того чтобы квадратичная форма V(х) = x T Qx была положительно определенной функцией, необходимо и достаточно, чтобы все определители


    были положительны.

    Пример 4.1. Дана квадратичная форма


    Исследовать, является ли эта форма положительно определенной функцией.


    Решение. Если записать данную квадратичную форму в матричной форме, то элементами соответствующей матрицы Q будут


    все положительны. Следовательно, по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной функцией.


    . Квадратичная форма не является положительно определенной, так как ее главный минор отрицателен.

    Задание № 18. Является ли квадратичная форма положительно определенной ?


    . Квадратичная форма является не положительно определенной, так как не все ее главные миноры положительны.


    Задание № 19. Дана квадратичная форма . Привести её к каноническому виду.

    Составим характеристическое уравнение


    или . Корни этого уравнения . Собственные векторы, определяющие главные направления квадратичной формы найдём из системы:


    Подставляя сюда поочередно значения и беря каждый раз нормированное решение системы (1), получаем:




    Формулы преобразования координат при переходе к этому базису:



    В базисе квадратичная форма имеет канонический вид


    Задание № 20. Привести к каноническому виду квадратичную форму



    или . Отсюда . Канонический вид данной квадратичной формы


    Для того чтобы найти базис, в котором форма имеет вид, необходима найти собственные векторы симметрического линейного преобразования с матрицей


    Запишем систему уравнений, определяющую искомые собственные векторы:


    Подставляя сюда и беря каждый раз нормированное решение системы (1), найдем векторы, определяющие главные направления квадратичной формы:



    Они составляют нужный базис.


    При переходе к базису координаты всех векторов преобразуются по формулам:


    Задание № 21. Найти для квадратичной формы


    Для данной квадратичной формы запишем


    Следовательно её матрица равна



    Задание № 22. С помощью линейных преобразований переменных преобразуем квадратичную форму в канонический вид.


    Перейдёт в форму с матрицей



    Квадратная матрица вида


    у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной (канонической) матрицей.

    В выполненной работе рассмотрены математические постановки для изучения материала: приведение квадратичной формы к каноническому виду, законы инерции, положительно определенные формы.

    Для того чтобы использовать квадратичные формы на практике, вначале необходимо привести ее к каноническому виду. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Любую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду. Если две квадратичные формы с действительными коэффициентами имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то эти формы могут быть переведены друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями. Квадратичная форма с действительными коэффициентами будет положительно определенной, если все главные миноры строго положительны, или если при всяких действительных значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля.

    В процессе выполнения работы была рассмотрена не только теоретическая часть, но и практическая, в которой решены задачи по данным подтемам.

    Примечания к исследованию MATLAB: квадратичная форма

    Преобразование квадратичной формы в стандартную форму

    Этого можно добиться с помощью schur и eig:

    Фактически, A - квадратичная матрица, D - диагональная матрица, образованная собственными значениями A, а Q - ортогональная матрица.



    После ортогонального преобразования X = QY квадратичная форма преобразуется в стандартную форму: f = -12 * y1 ^ 2-8 * y2 ^ 2-6 * y3 ^ 2.

    Читайте также: