Распределение пуассона с параметром лямбда

Обновлено: 02.07.2024

Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона. Вероятности вычисляются по следующей формуле:

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=lambda, quad D(X)=lambda.$$

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания . При увеличении $lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(lambda, sqrt)$. В свою очередь, оно само является “приближенной” моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона ).

Распределение Пуассона – определение

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Другими словами, если событие происходит с некоторой периодичностью, то мы можем определить вероятность, что такое событие произойдёт n раз за интересующий нас период.

Параметр лямбда – λ

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра – λ, данный параметр зависит от вероятности успешного события и общего количества событий.
Успешное событие: распределение Пуассона применяется только тогда, когда есть разделение на результат “да” и “нет”, например, лампочка перегорела: да – успешное событие; шина прокололась: да – успешное событие и так далее.

λ = n*p, где p – вероятность успешного события, а n – общее количество событий, для которых ведётся расчёт.
Например, если гроза проходит раз в месяц и мы хотим посчитать вероятность грозы за 24 месяца, то вероятность равна единице, а количество событий равно 24, откуда лямбда равна 24.
Можно считать по-другому, вероятность грозы в конкретный день – 1/30, количество событий – 730 дней, лямбда равна 24.3.

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет меньше 4 ящиков с яблоком голден?

Вероятность ящика с яблоком голден – 0.1% (1 ящик на 1000 = 1/1000, если в процентах – 1/1000 * 100 = 0.1%)
Общее количество событий – 5000 ящиков
Из вышесказанного следует:
λ = 5000 * 0.001 = 5

Функция вероятности (формула Пуассона)

Вероятность, что успешное событие произойдёт k раз:

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет 2 ящика с яблоком голден?

Из предыдущего примера мы знаем, что λ=5, теперь мы ищем вероятность, что k будет равно 2, для этого используем формулу функции вероятности:

f(4) = P(k = 4) = λ k e -λ / k! = 5 2 * e -5 / 2! = 0.084 = 8.4%

Условия возникновения распределения Пуассона

Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):

В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.

Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком). Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:

• стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
• ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
• отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

• x – число событий m;
• среднее;
• интегральная – логическое значение: 0 – если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 – если вероятность F(m).

Почему Пуассон изобрел свое распределение?

Чтобы предсказывать количествобудущихсобытий!

Или более формально: чтобы предсказывать вероятность данного числа событий, происходящих в определенный интервал времени.

В продажах, например, “событие” это покупка (сам момент покупки, не просто выбор). Событием может быть количество посетителей в день на веб-сайте, кликов на рекламном объявлении в следующем месяце, число звонков в рабочее время или число людей, которые умрут от смертельных заболеваний в следующем году, и так далее.

Недостатки биномиального распределения

a) Биномиальная случайная величина бинарна — 0 или 1.

В примере выше у нас было 17 лайков в неделю. Это 17/7 = 2.4 человека в день и 17/(7*24) = 0.1 в час.

Если моделировать вероятность успеха в часах (0.1 человек в час), используя биномиальную случайную величину, получим, что в большем количестве часов лайков будет 0, а в некоторые часы ровно 1 лайк. Также возможно, что в час будет больше 1 лайка (2, 3, 5 и т.д.).

Проблема с биномиальным распределением в том, что оно не может содержать более одного события в единицу времени (1 час в примере).

Так может разделить 1 час на 60 минут и принять за единицу времени минуту? Тогда в 1 час поместится несколько событий. (Помним, что 1 минута содержит только ноль или одно событие).

Теперь проблема решена?

Вроде бы. Но что если в течение одной минуты мы получим несколько лайков? (например, кто-то поделился постом в Твиттере, и трафик вырос в эту минуту). Что тогда? Можно разделить минуту на секунды. Тогда единицей времени становится секунда, и в минуту помещается несколько событий. Но проблема бинарного контейнера будет существовать для все меньших единиц времени.

Дело в том, что биномиальная случайная величина может содержать несколько событий, если делить единицу времени на все меньшие единицы. В результате изначальная единица времени будет содержать более одного события.

Математически это означает n → ∞. Если предположим, что среднее значение фиксировано, тогда p → 0. В противном случае n*p — количество событий — чрезмерно возрастет.

Единица времени с использованием этого лимита может быть бесконечно мала. Больше не нужно беспокоиться о более чем одном событии в единицу времени. Так получается распределение Пуассона.

b) В биномиальном распределении количество попыток (n) должно быть известно заранее.

Нельзя посчитать вероятность успеха при помощи биномиального распределения, зная только среднее значение (17 человек в неделю). Нужно больше информации (n и p), чтобы использовать формулу.

Распределение Пуассона же не обязывает вас знать ни n ни p. Предположим, что n бесконечно велико, а p бесконечно мала. Единственный параметр распределения — значение λ (ожидаемое значение x). В реальной жизни чаще известно только значение (например, с 2 до 4 часов дня я принял 3 телефонных звонка), а не значения n и p.

Решение задачи на распределение Пуассона в Excel

Пример 1. Отдел технического контроля определил, что среднее число не соблюденных допусков в размерах производимых деталей составляет 6. Определить вероятности следующих событий обеими рассматриваемыми функциями (для сравнения результатов вычислений):

1. Вероятность наличия 3 и менее погрешностей в случайно отобранной детали.
2. Вероятность наличия ровно 3 погрешностей в случайно выбранной детали.

Вид таблицы данных:

Рассчитаем вероятность наличия трех и менее дефектов с помощью функций:

• B3 – среднее значение;
• B2 – предполагаемое значение, для которого рассчитывается вероятность;
• ИСТИНА – указатель на интегральный тип функции.

Для нахождения вероятности выбора детали с наличием ровно трех дефектов используем функции:

Для расчета вероятности точного совпадения третий аргумент задан в качестве логического ЛОЖЬ.

Как видно, результаты вычислений обеих функций идентичны.

Числовые характеристики случайной величины Х

Математическое ожидание распределения Пуассона
M[X] = λ

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание: M[X] = λ = 2
Дисперсия: D[X] = λ = 2

Пример №2 . Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Пример №3 . На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение. По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P₂₀₀(1).
Получаем: . Тогда P₂₀₀(1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k . Тогда P₂₀₀(1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k
в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найдем P₂₀₀(k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p — достаточно малым; положим np = a, где a — некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:

Вероятность появления k событий за время длительностью t можно также найти по формуле Пуассона:

где λ — интенсивность потока событий, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.

Пример №5 . Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5
Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e – λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e – λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x Пример №6 . Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e – λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e – λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример №7 . Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P₁(0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187

Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P₂(0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065

а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P₁(0)*P₂(0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P₁(0)*(1-P₂(0)) + (1-P₁(0))*P₂(0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321

Пример №7 . Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание: поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать теорему Лапласа .

Формула Пуассона

Давайте получим формулу Пуассона математически из формулы функции биномиального распределения.

Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и стандартного отклонения.

Сначала дадим сухое формальное определение распределения, затем приведем примеры ситуаций, когда распределение Пуассона (англ. Poisson distribution ) является адекватной моделью для описания случайной величины.

Если случайные события происходят в заданный период времени (или в определенном объеме вещества) со средней частотой λ( лямбда ), то число событий x , произошедших за этот период времени, будет иметь распределение Пуассона .

Плотность вероятности распределения Пуассона задается следующей формулой:

λ – единственный параметр распределения Пуассона .

СОВЕТ : подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

• число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
• число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
• число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

• события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
• средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
• два события не могут произойти одновременно;
• число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что среднее значение выборки приблизительно равно дисперсии (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

• число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
• число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
• число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: Гипергеометрического и Биномиального .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про Экспоненциальное распределение .

Распределение Пуассона в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Распределения Пуассона имеется функция ПУАССОН.РАСП() , английское название - POISSON.DIST(), которая позволяет вычислить не только вероятность того, что за заданный период времени произойдет х событий (функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), но и интегральную функцию распределения (вероятность того, что за заданный период времени произойдет не меньше x событий).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ПУАССОН() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). ПУАССОН() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Распределение Пуассона имеет скошенную форму (длинный хвост справа у функции вероятности), но при увеличении параметра λ становится все более симметричным.

Примечание : Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График , для плотности распределения – Гистограмма с группировкой . Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Примечание : Среднее и дисперсия (квадрат стандартного отклонения ) равны параметру распределения Пуассона – λ (см. файл примера лист Пример ).

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: = ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения , то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: = ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание : Если x не является целым числом, то при вычислении формулы дробная часть числа отбрасывается . Формулы =ПУАССОН.РАСП( 2 ; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП( 2,9 ; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Генерация случайных чисел и оценка λ

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из распределения Пуассона .

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с параметром λ=5. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры:

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно оценить параметр λ для каждого массива с помощью функции СРЗНАЧ() , см. файл примера лист Генерация .

Связь Распределения Пуассона с Биномиальным и Нормальным распределением

Распределение Пуассона является предельным случаем Биномиального распределения , при условии, если параметр n Биномиального распределения стремится к бесконечности, а p – к 0.

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

• p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).

Примечание : Если 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением .

При значениях λ >15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ =λ , σ 2 =λ .

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Предельный случай биномиального распределения для дискретной величины, когда за определенный интервал времени проводится много независимых друг от друга наблюдений и вероятность событий в каждом из них достаточно невелика, называется распределением Пуассона. Это распределение названо в честь французского математика С. Пуассона (1781—1840), впервые описавшего это распределение в 1837 г.

Распределение Пуассона называют также распределением редких явлений, оно наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико (Л^> 100), а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала. Распределение Пуассона также относится к числу важнейших теоретических распределений, имеющих практическое применение. Переменными, распределенными по закону Пуассона, могут служить число дефектов в производственном процессе, число отказов технологического оборудования и т.д.

Классическую форму распределение Пуассона принимает в том случае, если значения признака носят дискретный характер, где но мере увеличения значений признаков частоты резко уменьшаются и х_ср~ а 2 . Распределение Пуассона определяется формулой для его плотности

где а — средняя арифметическая ряда (х = а).

На рис. 9.18 графически представлена плотность распределения Пуассона.

Пуассоновский поток событий обладает тремя свойствами:

1. Вероятность появления х событий за определенный промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчета, другими словами, интенсивность потока есть постоянная величина (свойство стационарности).

Рис. 9.18. Распределение Пуассона

Теоретические частоты для распределения Пуассона рассчитывают но формуле

где N — число единиц в изучаемой совокупности; а — средняя арифметическая ряда.

Теоретические частоты для распределения Пуассона определяют в следующем порядке: сначала по эмпирическим данным определяют среднюю арифметическую ряда, затем по таблицам определяют значения е~ а и вычисляют теоретические частоты для каждого значения признака. Полученные теоретические значения округляют до целых чисел.

Осуществим выравнивание вариационного ряда, представленного в табл. 9.9, по закону Пуассона с параметрами х = а = 0,777 (следовательно, е~ а = 0,4597); N = 440.

Эмпирические частоты для выравнивания вариационного ряда по закону Пуассона

Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применении теории вероятностей: многие физические явления приводят именно к такому распределению вероятностей.

Закон Пуассона (5.2.1) зависит от одного параметра а, смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией с. в. X, распределенной по закону Пуассона. Докажем это.

Воспользуемся для этого производящей функцией ф (г) случайной величины X:

Сумма в последнем выражении есть не что иное, как е az , поэтому

Чтобы найти м. о. величины X, продифференцируем производящую функцию (5.2.2) по Z-

и положим в ней z = 1; получим т_х — а. Дифференцируя второй раз, найдем

Найдем второй начальный момент:

Дисперсию с. в. Xвыразим через а.2 и т_х

Итак, параметр а пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии с. в. X, имеющей это распределение. Найдем с. к. о.:

Коэффициент вариации для с. в. X, распределенной по закону Пуассона, равен

и стремится к нулю при увеличении а.

Многоугольники распределения для с. в. X, распределенной по закону Пуассона с параметрами а = 0,5; а = 1,0; а = 2; а = 3,5 показаны на рис. 5.2.1.

Рассмотрим условия, при которых возникает пуассоновское распределение.

Из предыдущего пункта мы знаем, что м. о. случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами пир, равно пр. Мы обозначили пр = а. Для случайной величины X, имеющей биномиальное распределение с параметрами п и а/п,

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела в формуле (5.2.6):

Первая дробь и знаменатель последней дроби при постоянном т и п —> оо стремятся к единице. Преобразуем числитель последней дроби к виду

а это и есть распределение Пуассона.

Для контроля возможности замены биномиального распределения пуассоновским можно на всякий случай подсчитать одну-две ординаты точного, биномиального, распределения и сравнить с теми, которые получаются по приближенному, пуассоновскому.

Поток событий, обладающий этими тремя свойствами — стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия, называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.

Простейший поток тесно связан с распределением Пуассона. Действительно, возьмем на оси 01 участок времени длиной т (рис. 5.2.2) и докажем, что случайная величина X— число событий, попадающих на этот участок, имеет распределение Пуассона. Разделим мысленно участок т на п равных частей длины At = х/п. Математическое ожидание числа событий, попадающих на элементарный участок At, очевидно, равно XAt, где А, — интенсивность потока. Согласно свойству 2 (ординарности) потока можно пренебречь вероятностью попадания на элементарный участок At двух и более событий.

где р_А, — вероятность того, что участок At будет занят.

Среднее число — математическое ожидание — числа событий, попадающих на участок At, очевидно, равно

откуда находим

Теперь рассмотрим п участков оси Of как п независимых опытов (независимость следует из свойства 3 потока), в каждом из которых может появиться событие Л — с вероятностью X At. Число занятых элементарных участков — это число ^событий на всем участке т (если ни на каком из элементарных участков не может появиться более одного события; в пределе при At —>• 0 это будет именно так). Случайная величина X имеет биномиальное распределение

с параметрами п и —.

ление стремится к пуассоновскому с параметром Хх:

Таблицы значений функции Р(т, а) = —е~ а приведены в приложении 1.

Таким образом, мы выяснили еще один тип условий, в которых возникает распределение Пуассона.

Отметим (мы сделаем это без специального доказательства), что условие 1 (стационарность потока) не является обязательным для того, чтобы число событий, попадающих на участок длины т, распределялось по закону Пуассона (достаточно, чтобы выполнялись условия 2 и 3). Если интенсивность потока событий X не постоянна, а зависит от времени X = X (t), то вероятность попадания ровно т событий на участок длины т, начинающийся в точке t₀ и кончающийся в точке t₀ + х

(рис. 5.2.3), имеет тоже распределение Пуассона: Р_т=—е а (т = 0, 1,

2. ), где а== J X (/) dt.

Рис. 5.2.3 Рис. 5.2.4

Добавим к этому, что ось Or, на которой случайным образом появляются точки, вовсе не обязательно должна быть осью времени, а точки на ней — моментами появления событий. Картина может иметь другой физический смысл (например, точки причаливания к берегу лодок, действующих независимо друг от друга).

Три условия, обеспечивающие простейший характер потока для поля точек, формулируются в виде:

• 1. Однородность поля — это означает, что вероятность попадания того или иного числа точек в какую-то фигуру S(см. рис. 5.2.4) (объем) не зависит от того, где эта фигура (объем) находится, а зависит только от ее площади (объема).
• 2. Ординарность поля — это означает, что точки на плоскости (в пространстве) появляются поодиночке, а не по две, по три и т. д. Точнее, что вероятность попадания в элементарный участок плоскости (пространства) двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.
• 3. Отсутствие взаимодействия в поле — это означает, что вероятность попадания того или иного числа точек в плоскую (или пространственную) фигуру не зависит от того, сколько точек попало в любую другую непересекающуюся с ней фигуру.

Роль интенсивности X потока событий в случае поля точек играет его плотность X — среднее число точек, попадающих в единицу площади (объема). Для однородного поля точек X = const; для неоднородного X зависит от координат точки (х, у) на плоскости; (х, у, z) — в пространстве.

Можно доказать (мы этого делать не будем), что для поля, обладающего всеми тремя свойствами, число точек, попадающих в заданную плоскую (пространственную) фигуру, распределено по закону Пуассона с параметром а, равным Xs, где s — площадь фигуры (или Xv, где v — объем фигуры).

Для того чтобы возникало распределение Пуассона, не обязательно соблюдение всех трех условий, достаточно соблюдения двух последних (ординарности и отсутствия взаимодействия). Если такое поле неоднородно, то число точек, попадающих в плоскую (пространственную) фигуру, вычисляется по формулам

Двойной интеграл распространяется на всю плоскую фигуру S, а тройной — на всю пространственную фигуру V.

Для вычисления различных вероятностей, связанных с законом Пуассона, полезно пользоваться функцией R(m, а):

таблицы которой приведены в [4].

С помощью этой функции можно подсчитать вероятности событий, связанных со с. в. X, распределенной по закону Пуассона с параметром а

где [х] — целая часть числа х (например, [0,5] = 0; [2,7] = 2). Следовательно,

Пример 1. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью X = 0,8 (вызов/мин). Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Решение. С. в. X— число вызовов за 2 мин — распределено по закону Пуассона с параметром а = X ? т = 0,8 • 2 = 1,6. Имеем:

• а) Р₀=— е~ 1,6 ; таккак0!= 1, Р₀ =е~ 1,6 «0,202;
• б) Р_х =^е~ и6 *1,6 -0,202 «0,323;
• в) Р_х = Р ^ 1> = 1 — Р = 0> = 1 — Pq ~ 0,798. ?

Пример 2. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, можно считать простейшим с интенсивностью X = 4 (состав/ч). Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трех составов.

Решение, т = 0,5; а = 4 • 0,5 = 2.

Пример 3. На оси абсцисс Ох (рис. 5.2.5) случайным образом расположены наблюдательные посты; их плотность (среднее число постов на единицу длины) X (пост/км). Объект, пересекающий ось абсцисс в точке с заданной абсциссой обнаруживается с наблюдательного поста, если он проходит от него на расстоянии не более г км, причем обнаруживается не с полной достоверностью, а с вероятностью р. Посты обнаруживают объект независимо один от другого. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен.

Пример 4. Космические частицы, попадающие в спутник, образуют поле с плотностью X (частипа/м 2 ). Агрегат спутника, находящийся в поле частиц, занимает площадь S (м 2 ). Для выхода из строя агрегата заведомо достаточно попадания в него двух частиц; при попадании одной частицы он выходит из строя с вероятностью р. Найти вероятность события Л — .

Решение. Находим среднее число попадающих в агрегат частиц:

Найдем вероятность выхода агрегата из строя по формуле полной вероятности с гипотезами:

По закону Пуассона

по формуле полной вероятности

Пример 5. Поток вызовов на АТС — пуассоновский нестационарный с интенсивностью X (/), зависящей от времени. На участке времени от 0 ч до 6 ч 40 мин интенсивность X (t) возрастает по линейному закону:

причем к 0 ч она равна 0,2 (вызов/мин); а в 6 ч 40 мин — 0,4 (вызов/мин). Найти вероятность Ртого, что за 10 мин, от 3 ч 15 мин до 3 ч 25 мин, придет не менее трех вызовов.

Читайте также:

  
• Логана пола жизненные принципы
  
• Автомагнитола с громкой связью для телефона выбор
  
• Subaru impreza 1999 тюнинг
  
• Если колеса накачаны неравномерно
  
• Какая сигнализация лучше старлайн или центурион