Идеальная тепловая машина использует в качестве рабочего тела 1 моль идеального одноатомного газа
Обновлено: 05.07.2024
\u2022 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430 \u0433\u0430\u0437\u0430 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u0434\u0438\u0430\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0435:
\u25cb \u0410\u0433 = A12 + A23 + A31
\u2022 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 1-2 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a\u0430\u043a \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0442\u0440\u0430\u043f\u0435\u0446\u0438\u0438:
\u25cb A12 = (P0 + 3P0)\/2 * (3V0 - V0) = 4 P0V0
\u2022 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 2-3 \u0438\u0449\u0435\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e:
\u25cb \u041023 = 2P0 * (-V0) = -2 P0V0
\u2022 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 3-1 \u0438\u0449\u0435\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0430:
\u25cb A31 = - P0V0
\u2022 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430 \u0433\u0430\u0437\u0430 \u0437\u0430 \u0446\u0438\u043a\u043b \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0410\u0433 = P0V0
\u2022 \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0442\u0435\u043f\u043b\u043e\u0442\u044b \u043e\u0442 \u043d\u0430\u0433\u0440\u0435\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f, \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e, \u0432\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u0430\u0445 \u0433\u0430\u0437 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0442\u0435\u043f\u043b\u043e
\u2022 \u0433\u0430\u0437 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0442\u0435\u043f\u043b\u043e \u043d\u0430 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u0430\u0445 1-2 \u0438 2-3 (\u043d\u0430 \u043d\u0435\u043c \u0445\u043e\u0442\u044c \u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430, \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u044d\u043d\u0435\u0440\u0433\u0438\u0438 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435). \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:
\u25cb Q\u043d = Q12 + Q23
\u2022 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0442\u0435\u043f\u043b\u043e\u0442\u044b \u0432 \u043e\u0431\u043e\u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0430\u0445 \u0438\u0449\u0435\u043c \u043f\u043e 1 \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u0443 \u0442\u0435\u0440\u043c\u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0438
\u25cb Q12 = A12 +\u00a0\u0394U12 = 4 P0V0 + 1.5*\u0394P\u0394V = 6 P0V0
\u25cb Q23 = A23 +\u00a0\u0394U23 = - 2P0V0 + 1.5*\u0394P\u0394V = P0V0
\u2022 \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, Q\u043d = 7\u00a0P0V0
\u2022 \u0438 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u041a\u041f\u0414 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d n = 1\/7\u00a0\u2248 0.142 \u0438\u043b\u0438 14.2%">]" data-testid="answer_box_list">
Тепловыми двигателями называются устройства, преобразующие внутреннюю энергию топлива в механическую работу. Принципиально схему любого теплового двигателя можно изобразить в виде схемы.
Нагреватель – устройство, от которого рабочее тело получает энергию, часть которой идет на совершение работы.
Рабочее тело — тело, которое расширяясь, совершает работу (им является газ или пар)
Холодильник – тело, поглощающее часть энергии рабочего тела (окружающая среда или специальные устройства для охлаждения и конденсации отработанного пара, т.е. конденсаторы).
Для оценки эффективности работы тепловых двигателей вводят понятие коэффициента полезного действия — КПД. Коэффициентом полезного действия теплового двигателя называют отношение полезной работы, совершенной данным двигателем, к количеству теплоты, полученному от нагревателя
.
КПД — величина безмерная и выражается в долях от единицы, например, , либо в процентах, например, . Полезную работу, которую совершает рабочее тело можно найти как разность между количеством теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику
,
поэтому КПД может быть найден по формулам
.
В XIX веке французский инженер и ученый Сади Карно предложил способ определения максимально возможного КПД теплового двигателя (через термодинамическую температуру). Карно придумал так называемую идеальную тепловую машину — это тепловой двигатель, в котором рабочим телом является идеальный газ. Идеальная тепловая машина Карно работает по циклу, который состоит из двух изотерм и двух адиабат, причем эти процессы считаются обратимыми. В координатах цикл Карно будет иметь вид
КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, можно вычислить следующим образом
.
Последняя формула показывает, что КПД теплового двигателя тем больше, чем больше разность температур нагревателя и холодильника. Этого можно добиться либо повышая температуру нагревателя, либо уменьшая температуру холодильника.
Пример. Тепловой двигатель использует в качестве рабочего тела 1 моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображен на -диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры и изобары. Зная, что КПД этого цикла , а минимальная и максимальная температуры газа в изохорном процессе =37^" width="81" height="16" />
и =302^" width="92" height="15" />
. Определите количество теплоты, получаемое газом за цикл.
Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2005 г.
I. МЕХАНИКА (окончание)
9 Два одинаковых шарика массой m каждый, связанные пружиной жёсткостью k и длиной l, лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий такой же шарик движется со скоростью 0 по линии, соединяющей центры шариков, связанных пружиной, и упруго соударяется с одним из них. Определите максимальное и минимальное расстояния между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении. Принять, что Массой пружины, временем соударения и трением пренебречь.
Из законов сохранения импульса и энергии, записанных для упругого соударения одинаковых по массе шариков, следует, что они при центральном ударе обмениваются скоростями. Поэтому после соударения двигавшийся шарик остановится, а покоившийся приобретёт скорость 0. При последующем движении шариков, связанных пружиной, будут сохраняться импульс и энергия этой системы. Учитывая, что в моменты времени, когда расстояния между шариками максимальны или минимальны, их относительная скорость обращается в нуль, для этих моментов времени имеем:
где – скорость шариков, x – удлинение пружины. Из этих соотношений находим
10 Груз массой M подвешен на пружине. Удерживая груз в положении равновесия, на него кладут брусок массой m, а затем отпускают. С какой максимальной силой брусок будет действовать на груз в процессе движения? Ускорение свободного падения g. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Из условия равновесия неподвижно висящего груза kx0 = Mg следует, что удлинение пружины при этом равно где k – жёсткость пружины. Совместим начало отсчёта потенциальной энергии с концом недеформированной пружины. Учитывая, что при максимальном растяжении пружины (x = xmax) скорость груза с бруском обращается в нуль, запишем закон сохранения энергии:
Подставляя сюда x0, находим
Запишем далее уравнения движения для груза с бруском и отдельно для бруска:
Отсюда сила, с которой груз действует на брусок, равна
Максимальное значение эта сила принимает при x = xmax. Объединяя записанные выражения, получаем окончательно
II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
1 Плотность смеси азота и кислорода при температуре t = 17 °С и давлении p0 = 10 5 Па равна = 1,2 кг/м 3 . Найдите концентрации n1 и n2 молекул азота и кислорода в смеси. Молярная масса азота M1 = 28 г/моль, кислорода M2 = 32 г/моль. Постоянная Больцмана k = 1,38 · 10 –23 Дж/К, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К).
Плотность и давление идеального газа выражаются следующим образом: p = nkT, где n – концентрация молекул, M – молярная масса газа, k – постоянная Больцмана, NA – число Авогадро, T – абсолютная температура. Используя эти выражения, для смеси газов получаем систему уравнений:
Отсюда, учитывая, что kNA = R, получаем ответ:
2 Тонкая сферическая оболочка воздушного шара изготовлена из однородного материала, масса единицы площади которого = 1 кг/м 2 . Шар наполнен гелием при атмосферном давлении p0 = 10 5 Па. Какой минимальный радиус rmin должен иметь шар, чтобы он начал подниматься? Температуры гелия и окружающего воздуха одинаковы и равны t0 = 0 °С. Молярные массы гелия и воздуха соответственно MHe = 4 г/моль и Mв = 29 г/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль · К).
Шар будет подниматься, если действующая на него выталкивающая сила превысит силу тяжести. По закону Архимеда, выталкивающая сила равна mвg, где mв – масса воздуха в объёме, занимаемом шаром. Обозначив через mHe массу гелия, содержащегося в шаре, а через M – массу оболочки шара, запишем условие, при котором шар начнёт подниматься:
Массы гелия и воздуха, содержащихся в объёме V, можно найти из уравнений состояния этих газов:
где T0 = t0 + 273 °C, Учитывая, что масса оболочки шара равна , перепишем условие подъёма шара в виде
При этом знак равенства достигается при минимальном радиусе шара.
3 Внутри вертикально расположенного цилиндра, воздух из которого откачан, находится тонкий массивный поршень. Под поршень ввели смесь водорода и гелия, в результате чего поршень поднялся до середины цилиндра. Поскольку материал, из которого изготовлен поршень, оказался проницаемым для гелия, поршень начал медленно опускаться. Спустя достаточно большое время поршень занял окончательное положение равновесия на высоте, составляющей 1/3 высоты цилиндра. Найдите отношение k масс водорода и гелия в смеси в первоначальный момент. Молярная масса водорода M1 = 2 г/моль, молярная масса гелия M2 =
= 4 г/моль. Температуру считать постоянной.
Пусть m1 и m2 – соответственно массы водорода и гелия в смеси, M0 – масса поршня, V – объём цилиндра, S – площадь сечения поршня, T – температура. Из условия равновесия поршня и уравнения начального состояния смеси следует равенство
В конечном состоянии, когда диффузия гелия закончится, концентрация гелия в обеих частях цилиндра станет одинаковой. Следовательно, станут равными парциальные давления гелия снизу и сверху от поршня. Поэтому давление поршня будет уравновешиваться только давлением водорода:
Сопоставляя записанные выражения, получаем, что Массы водорода и гелия в смеси были одинаковыми.
4 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является идеальный одноатомный газ, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке. Максимальный объём газа в этом процессе в n = 3 раза больше минимального объёма. Найдите КПД двигателя .
Работа газа в циклическом процессе численно равна площади фигуры, ограниченной графиком процесса на p, V-диаграмме:
где p1 и V1 – давление и объём газа в точке 1. Количество теплоты, полученной газом в данном процессе,
Поскольку RT1 = p1V1 и RT2 = n 2 p1V1, то Q1–2 = 2p1V1(n 2 – 1). КПД цикла
5 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является идеальный одноатомный газ, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке, где участок 2–3 – адиабатическое расширение, а участок 4–1 – адиабатическое сжатие. Найдите КПД двигателя , если известно, что температура газа при адиабатическом расширении уменьшается в n раз, а при адиабатическом сжатии увеличивается в n раз, где n = 1,5.
Работа газа за цикл равна алгебраической сумме количеств теплоты, которыми газ обменивается с окружающими телами:
Количество теплоты, полученной газом, равно
Следовательно, КПД цикла
По условию задачи, T2 = nT3; T1 = nT4.
6 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является один моль идеального одноатомного газа, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке, где участок 2–3 – изотермическое расширение. Найдите работу газа на участке 2 – 3, если КПД двигателя = 20%, а разность между максимальной и минимальной температурами газа T = 100 К.
Работа газа за цикл равна (см. решение задачи 5)
Количество теплоты, полученное газом, равно
Следовательно, КПД рассматриваемого цикла равен
По условию задачи, T2 = T3 = Tmax. Поэтому
Отсюда В изотермическом процессе количество теплоты, полученное от термостата, равно работе газа Q2–3 = A2–3.
8766. В теплоизолированный сосуд, в котором находится 1 кг льда при температуре -20 °С, налили 0,2 кг воды при температуре 10 °С. Определите массу льда в сосуде после установления теплового равновесия. Теплоемкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.
Определим конечное состояние смеси лед - вода, для чего сравним количество теплоты Q1, необходимое для нагревания льда до температуры плавления, и количество теплоты Q2, которое может отдать вода при остывании до начала процесса кристаллизации:
\( = (0-) = 2100 \cdot 1 \cdot (0 - ( - 20)) = 42000 Дж \)
\( = = 4200 \cdot 0,2 \cdot 10 = 8400 \) Дж
Q1 > Q2, следовательно, вода остынет до 0 °С и начнет кристаллизоваться.
Для того чтобы полностью превратиться в лед, воде при 0°С необходимо отдать количество теплоты
\( = \lambda = 330000 \cdot 0,2 = 66000 \) Дж Так как Q1 \( = + > \over \lambda > = - \over > \approx 0,1 кг\)
В итоге получаем, что после установления теплового равновесия в сосуде будет находиться:
\( M = + \approx 1 + 0,1 = 1,1 кг\)
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8766.
8798. Воздушный шар объемом 2500 м 3 с массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой до температуры 77 °С. Какой должна быть максимальная температура окружающего воздуха плотностью 1,2 кг/м 3 , чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзина и воздухоплаватель) массой 200 кг? Оболочку шара считать нерастяжимой.
Шар поднимет груз при условии равенства силы тяжести и силы Архимеда: \( (M + m)g + g + = \rho Vg \), где M и m - соответственно масса оболочки шара и масса груза, mШ - масса нагретого воздуха в шаре, \( \rho \) - плотность окружающего воздуха.
Откуда получим: \( M + m = - \)
При нагревании воздуха в шаре его давление p и объем V не меняются. Следовательно, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева;
\( pV = \frac>><\mu >R = \frac>><\mu >R \), где \( \mu \) - молярная масса воздуха, Tш и Tо - температуры воздуха соответственно внутри и вне шара, \( = pV \) - начальная масса воздуха в шаре. Отсюда: \( = pV\frac<<>><<>> \)
Подставляем полученные выражения в (1): \( M + m = pV\left( >>>>> \right) \)
Окончательной получим: \( = \left( >>> \right) = \) 350 ⋅ 0,8 = 280 К = 7° С.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8798.
8830. В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем находится одноатомный идеальный газ. В начальном состоянии поршень массой \( M \) и площадью основания \( S \) покоится на высоте \( h \), опираясь на выступы (см. рисунок 1). Давление газа \(
Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. В процессе медленного подъема поршня его ускорение считаем ничтожно малым. Поэтому сумма приложенных к поршню сил при его движении равна нулю. В проекциях на вертикальную ось у получаем: \( - - Mg = 0 \), или \( S - S - Mg = 0 \).
Отсюда получаем давление газа \( p \), под движущимся поршнем: \(
Отсюда получаем: \( U = \fracpV \)
Внутренняя энергия газа в исходном состоянии \( = \fracSh \), а в конечном состоянии
Процесс движения поршня идет при постоянном давлении газа \( \) Поэтому из первого начала термодинамики получаем: \( Q = - + \Delta V = - + S(H - h) \).
Подставляя сюда выражения для \( \), \( \) и \( \), получим: \( Q = \frac(S + Mg)H - \fracSh \) \( + (S + Mg)(H - h) = \) \( \fracMgh + \frac(Mg + S) \cdot (H - h) \).
Ответ: \( \fracMgh + \frac(Mg + S) \cdot (H - h) \)
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8830.
8862. Сосуд объемом 10 л содержит смесь водорода и гелия общей массой 2 г при температуре 27 °С и давлении 200 кПа. Каково отношение массы водорода к массе гелия в смеси?
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для водорода и гелия в смеси:
\( >>V = \frac>>>><<<\mu _<
Согласно закону Дальтона давление смеси:
\( p = >> + > \)
Кроме того, масса смеси
\( m = >> + > \)
Решая систему уравнений (1)-(4), получаем:
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8862.
8894. Цикл тепловой машины, рабочим веществом которой является \( \nu \) моль идеального одноатомного газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. В изохорном процессе температура газа понижается на \( \Delta T \), а КПД тепловой машины равен \( \eta \). Определите работу, совершенную газом в изотермическом процессе.
Коэффициент полезного действия тепловой машины \( \eta = \frac>>>> = 1 - \frac<<\left| <
В рассматриваемом цикле газ получает количество теплоты в изотермическом процессе и отдает в изохорном.
В изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется, следовательно, в соответствии с первым законом термодинамики количество теплоты, полученное газом, равно работе газа: \( = A \).
Поскольку в изохорном процессе газ работу не совершает, количество теплоты, отданное газом, равно изменению его внутренней энергии: \( \left| > \right| = \frac\nu R\left| \right| \). Подставляя второе и третье соотношения в первое, получаем искомую работу, совершенную газом в изотермическом процессе.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8894.
8926. Давление влажного воздуха в сосуде под поршнем при температуре t = 100 °С равно p0 = 1,8⋅10 5 Па. Объем под поршнем изотермически уменьшили в k = 4 раза. При этом давление в сосуде увеличилось в n = 3 раза. Найдите относительную влажность \( \varphi \) воздуха в первоначальном состоянии. Утечкой вещества из сосуда пренебречь.
При \( t = 100 \) °С давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению: \( = \) Па. При изотермическом сжатии произведение \( pV \) для влажного воздуха под поршнем уменьшилось, так как \( n 8958. Изменение состояния постоянной массы одноатомного идеального газа происходит по циклу, показанному на рисунке. При переходе из состояния 1 в состояние 2 газ совершает работу A12 = 5 кДж. Какое количество теплоты газ отдает за цикл холодильнику?
Из анализа графика цикла работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2:
\( > = 2 \cdot 2 = 4 \)
Количество теплоты, переданное газом за цикл холодильнику, согласно первому началу термодинамики:
Ответ: \( \left| > \right| \approx 13 \) кДж.
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8958.
8990. Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1-2-3 (см. рисунок, где \( <> \) = 100 К). На участке 2-3 к газу подводят \( > \) = 2,5 кДж теплоты. Найдите отношение работы \( >> \), совершаемой газом в ходе процесса, к количеству поглощенной газом теплоты \( >> \).
Так как процесс 1-2 - изохорный \( \left(
= const> \right) \), то работа на этом участке не совершается: \( > = 0 \), поэтому \( > = \Delta > = \frac\nu R(3 - ) = 3\nu R \).
Так как процесс 2-3 - изотермический, то изменение внутренней энергии \( \Delta > = 0 \) и \( > = > \).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8990.
9022. Один моль одноатомного идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 3 в соответствии с графиком зависимости его объема V от температуры T (T0 = 100 К). На участке 2-3 к газу подводят количество теплоты Q23 = 2,5 кДж. Найдите отношение работы газа A123 ко всему количеству подведенной к газу теплоты Q123.
Так как процесс 1-2 - изохорный \( \left(
= const> \right) \), то работа на этом участке не совершается: \( > = 0 \), поэтому \( > = \Delta > = \frac\nu R(3 - ) = 3\nu R \).
Так как процесс 2-3 - изотермический, то изменение внутренней энергии \( \Delta > = 0 \) и \( > = > \).
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 9022.
9054. С одноатомным идеальным газом неизменной массы происходит циклический процесс, показанный на рисунке. За цикл газ совершает работу Aц = 5 кДж. Какое количество теплоты Qн газ получает за цикл от нагревателя?
Читайте также: