Тонкое кольцо радиусом r равномерно заряжено с линейной плотностью лямбда

Обновлено: 02.07.2024

Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость ε которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от ε1 до ε2 , причем ε2 > ε1 . Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d. Найти:

а) емкость конденсатора;

б) объемную плотность связанных зарядов как функцию ε, если заряд конденсатора q и поле E в нем направлено в сторону возрастания ε.

Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2a заряжен равномерно зарядом q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра стержня для точек прямой:

а) перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр; б) на оси стержня вне его.

Исследовать полученные выражения при r >> a.

Металлический шар радиуса a окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиуса b. Пространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением ρ. Найти сопротивление межэлектродного промежутка. Исследовать полученное выражение при b → ∞.

Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью λ = λ 0 cos φ, где λ 0 — постоянная, φ — азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля:

а) в центре кольца;

б) на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра. Исследовать полученное выражение при х >> R.

Ток I = 5,0 А течет по тонкому проводнику, изогнутому, как показано на рис. 3.59. Радиус изогнутой части проводника R = 120 мм, угол 2φ = 90°. Найти индукцию магнитного поля в точке О .

Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра по закону ρ = ρ0 (1

— r/R), где ρ0 — постоянная. Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти:

а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r;

б) максимальное значение напряженности Eмакс и соответствующее ему значение расстояния rm.

Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью L=L0 cos ф, где L0 — постоянная, ф — азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля:а) в центре кольца;б) на оси кольца в зависимости от расстояния х до его центра. Исследовать полученное выражение при х >> R.

Дополнительные материалы

Решебник Иродова И.Е. (1979) - Задача 3. 10

Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд —q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля иа оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние х, если х >> R.

Ниже приведены условия задач и отсканированные листы с решениями. Загрузка страницы может занять некоторое время.

307. В вершинах правильного треугольника со стороной a=10 см находятся заряды q1=10мкКл, q2 = –20 мкКл и q3 = 30 мкКл. Определить силу F, действующую на заряд q1 со стороны двух других зарядов.

317. По тонкому полукольцу равномерно распределен заряд Q=20 мкКл с линейной плотностью τ=0,1 мкКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.

327. На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ1 и σ2. Требуется: 1) используя теорему Остроградского—Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найти выражение Е(х) напряженности электрического поля в трех областях: I, II и III. Принять σ1=σ, σ2 =–2σ; σ=20нКл/м2 2) вычислить напряженность Е поля в точке, расположенной между плоскостями, и указать направление вектора Е; 3) построить график Е(х).

337. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом r =10 см. Он равномерно заряжен с линейной плотностью τ =800 нКл/м. Определить потенциал в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии h = 10 см от его центра.

347. Какой минимальной скоростью Vmin должен обладать протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного до потенциала φ0 = 400 В металлического шара.

357. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R = 10 см каждая. Расстояние между пластинами d = 2 мм. Конденсатор присоединен к источнику напряжения U=80В. Определить заряд и напряженность поля конденсатора, если диэлектриком будут: а) воздух; б) стекло.

367. От источника с напряжением U = 800 В необходимо передать потребителю мощность Р=10 кВт на некоторое расстояние. Какое наибольшее сопротивление может иметь линия передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10% от передаваемой мощности?

377. За время T = 8 с при равномерно возраставшей силе тока в проводнике сопротивлением R = 8 Ом выделилось количество теплоты Q = 500 Дж. Определить заряд q, проходящий в проводнике, если сила тока в начальный момент времени равна нулю.

(a) Данное распределение заряда показано на рис. Симметрия этого распределения означает, что вектор $vec $ в точке О направлен вправо, а его величина равна сумме проекции на направление $vec $ векторов $d vec $ от элементарных зарядов $dq$. Проекция вектора $d vec $ на вектор $vec $ равна

где $dq = lambda Rd phi = lambda_ R cos phi d phi$.

Интегрируя (1) по $phi$ между 0 и $2 pi$, найдем величину вектора $E$:

Следует отметить, что этот интеграл решается самым простым способом, если учесть, что $langle cos^ phi
angle = 1/2$. затем

$int_ ^ cos^ phi d phi = langle cos^ phi
angle 2 pi = pi$.

(б) Возьмем элемент $S$ с азимутальным углом $phi$ от оси х, причем элемент, находиться в центре под углом $d phi$.
Элементарное поле в точке P от элемента

$frac cos phi d phi R > (x^ + R^ ) >$ вдоль SP с компонентами

Компонента вдоль OP исчезает при интегрировании $int_ ^ cos phi d phi = 0$

Компонент вдль OS может быть разбит на части вдоль OX и OY с помощью

Интегрируя, компонента вдоль оси OY исчезает.

Иродов – 3.19

Иродов – 3.18

Иродов – 3.17

Иродов 3.17. Пусть поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ϑ как σ = σ0 cos ϑ, где σ0 — положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса R, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. […]

Иродов – 3.16

Иродов – 3.15

Иродов – 3.14

Иродов – 3.13

Иродов – 3.12

Иродов – 3.11

Иродов – 3.10

Окончание. См. № 7, 8, 9, 10/2010

11-й класс

3. Тонкой пластмассовой спице придали форму, изображённую на рисунке, изогнув её в виде дуги, образующей четверть окружности радиусом R = 1 м, и кольцевого витка радиусом r = 0,25 м. Плоскость дуги и витка расположена вертикально. По спице может без трения перемещаться маленькая бусинка массой m = 1 г, несущая заряд q = 2 · 10 –9 Кл. Вся система помещена в однородное электрическое поле напряжённостью E = 5 · 10 3 В/м, направленное горизонтально в плоскости дуги и витка. Бусинку помещают в точку A, в которой касательная к дуге окружности радиусом R вертикальна, и отпускают без начальной скорости. В какой точке траектории бусинка будет иметь максимальную скорость? Чему равна эта скорость? Заряд бусинки при движении остаётся неизменным. Поляризацией пластмассы и потерями энергии на излучение можно пренебречь.

Бусинка движется под действием трёх сил: силы тяжести mg, кулоновской силы qE и силы реакции спицы N. Первые две силы образуют однородное силовое поле, направленное под углом α к вертикали, причём

Скорость бусинки максимальна в точке, в которой вектор скорости перпендикулярен суммарной силе, действующей на неё. Как видно из рисунка, эта точка лежит на пересечении прямой, проходящей через центр кольца под углом α к вертикали, с окружностью радиусом r в нижней её части.

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом сохранения энергии. Выберем точку A за точку отсчёта потенциальной энергии. Тогда

4. По тонкому непроводящему кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределён заряд Q = 10 –7 Кл. Кольцо закреплено так, что его плоскость вертикальна. Перпендикулярно плоскости кольца расположен непроводящий тонкий стержень, проходящий через центр кольца. По стержню может без трения скользить маленькая бусинка массой m = 1 г, несущая заряд –q (q = 10 –8 Кл). Бусинку смещают от положения равновесия на малое расстояние и отпускают. Найдите период возникших при этом колебаний бусинки. Потерями энергии на излучение можно пренебречь.

Поместим начало координат в центр кольца, а координатную ось X направим по оси стержня. Напряжённость E электрического поля, создаваемого кольцом на оси X, направлена вдоль этой оси, а модуль напряжённости в точке с координатой x равен

где ε = 8,85 · 10 –12 Ф/м – электрическая постоянная. Подробный вывод этой формулы приведён, например, в учебнике Мякишева и др. (Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободсков Г.А. Физика: Электродинамика. 10–11 кл.: учеб. для углубл. изучения физики. М.: Дрофа, 2001. § 1.16). Поскольку, по условию, x ≪ R, величиной x 2 по сравнению с R 2 в знаменателе формулы для E можно пренебречь. Тогда эта формула примет приближённый вид:

Таким образом, на бусинку, смещённую на малое расстояние от положения равновесия (x = 0), действует сила F, проекция которой на ось X равна:

Уравнение движения бусинки под действием этой силы имеет вид:

Отсюда следует, что круговая частота малых колебаний бусинки

Учитывая, что период колебаний T = 2π/ω, получаем ответ:

5. На расстоянии a = 10 см от точечного источника света находится непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром d = 3 см. На расстоянии b = 20 см от экрана позади него расположено плоское зеркало, на котором имеется сферический выступ диаметром D = 6 см и радиусом кривизны R = 40 см. Источник света, центр отверстия и центр сферического выступа находятся на одной прямой, а экран и плоская часть зеркала перпендикулярны к ней. Определите радиус r освещённой области на поверхности экрана, обращённой к зеркалу.

Размер освещённой области на экране ограничивает либо луч 1, отражённый от плоского зеркала, либо луч 2, отражённый от края сферического выступа (см. рисунок).

Таким образом, радиус пятна, даваемого лучом 1: