Два моля идеального газа находились в баллоне где имеется клапан выпускающий газ при давлении внутри
Обновлено: 05.07.2024
Поскольку, по условию,
С огласно уравнению Менделеева – Клапейрона
С учетом того, что по условию , имеем
выше получено соотношение =>
Тогда
Поскольку , то
Тогда при расширении газа сообщенное ему количество теплоты :
а) Уравнение адиабаты:
(1)
Постоянная адиабаты , для двухатомного газа число степеней свободы i = 5 (если молекулу считать жесткой, что справедливо при не высоких температурах) , тогда .
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона можем записать:
(2)
Здесь мы учли, что
Из уравнений (2) получаем:
(3)
Из (1) и (3) получаем:
(4)
- в общем случае.
В адиабатическом процессе
(5)
При изохорном процессе изменение объема равно 0, поэтому работа также равна нулю : . Таким образом, из (5) и (2) имеем:
(6)
В нутренняя энергия газа:
Тогда изменение внутренней энергии газа в результате всего процесса:
По условию, , поэтому внутренняя энергия газа в процессе 1-2-3 не изменится:
(7)
Количество теплоты, полученное в процессе 1-2 , равно 0, поскольку процесс адиабатический: .
Количество теплоты, полученное в процессе 2-3
(с учетом )= (с учетом (3-4))=
( 8 )
Видно, что правая часть (8) совпадает с (6), т.е. в рассматриваемом процессе А=Q.
Произведем расчет согласно формулам (3-4), (6- 8):
0,5 л
0,26 МПа
Дж
‑ 79.9 Дж
- Азот массой г, находящийся под давлением МПа при температуре , изотермически расширяется, в результате чего давление газа уменьшилось в раза. После этого газ адиабатно сжимают до начального давления, а затем изобарно сжимают до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл, и холодильный коэффициент.
(1)
В изотермическом процессе:
(2)
Здесь n=3, согласно условию .
Согласно уравнению Менделеева - Клапейрона можем записать:
(3)
Здесь мы учли, что
(4)
Учитывая , из (4) имеем:
(5)
(6)
Постоянная адиабаты , для двухатомного газа (в т.ч. азота) число степеней свободы i = 5 (если молекулу считать жесткой, что справедливо при не высоких температурах) , тогда .
В адиабатическом процессе:
=(с учетом ( 6 ) , а также )
(7)
В изобарном процессе работа:
=(с учетом (6))=
(8)
Тогда из (1), (2), (7) , (8) :
(9)
Холодильный коэффициент равен отношению количества теплоты, которая передается газу за цикл, к работе внешних сил, совершенной за цикл.
Работа внешних сил равна работе газа с обратным знаком: ‑ A.
Найдем количество теплоты, переданное газу. В данном цикле теплота передается газу на этапе изотермического расширения (в адиабатическом процессе теплота не передается и не отнимается, на этапе изобарного сжатия теплота отбирается от газа).
По первому началу термодинамики
В изотермическом процессе =0, работа газа найдена выше
Тогда холодильный коэффициент
(10)
Произведем расчет по (9-10):
‑ 11395 Дж
5,7
Тогда при изменении температуры от Т 1 до Т 2 :
Для изменения температуры бруска на dT ему следует сообщить количество теплоты, равное
415,6 Дж/К ≈ 4,2*10 ‑ 2 Дж/К
a ) Учтем известные из термодинамики соотношения
б) Связь потенциала Гиббса G и внутренней энергии:
с учетом условия задачи:
Из выражения для S имеем:
Получаем для внутренней энергии
Из выражения для V имеем:
(отметим, что выражение совпадает с уравнением Менделеева-Клапейрона для 1 моля идеального газа).
или - известные выражения для внутренней энергии идеального газа.
- На какой высоте плотность воздуха составляет 60% от плотности воздуха на уровне моря? Считать, что температура воздуха не зависит от высоты и равна .
Барометрическая формула для плотности воздуха :
Отсюда для получаем
Учитывая, что молярная масса воздуха М=0,029 кг/моль, получаем
= 4227 м ≈ 4,2*10 3 м
Здесь - среднеквадратичная скорость молекул, - средняя длина свободного пробега молекул.
Здесь d – диаметр молекулы, n – концентрация молекул.
Поскольку давлен ие газа
Уравнение газа Ван-дер-Ваальса:
(1)
(2)
(3)
Решение этих уравнений в общем виде весьма громоздко. Для упрощения решения подставим численные значения. Получаем:
(4)
(5)
(6)
Раскрывая скобки, получим:
(7)
(8)
(9)
Вычитая из первого полученного уравнения (7) второе (8), получаем:
(10)
Вычитая из уравнения (8) уравнение (9), получаем:
(11)
(12)
Подставляя (12) в (11), получаем:
(13)
Выразим а из (13):
(14)
Подставим формулы для ν (12) и для а (14) в (7):
+
+ = (15)
Домножая на (1+10000b), получим:
Приводя подобные слагаемые, получаем:
(16)
Подставляя (16) в (14), получаем:
0,149
В пособии даны методические указания к решению задач по молекулярной физике. Основное назначение пособия – научить студентов самостоятельно решать задачи, и показать им рациональную запись условия, решения, расчета, ответа.
При изучении физики в ссузе большое значение имеет практическое применение теоретических знаний, главное из которых – умение решать задачи.
В пособии разработаны единые методы решения задач по данной теме и использованы при решении конкретных задач.
Данное пособие состоит из нескольких частей. Первая часть содержит методические указания по составлению уравнений к задачам и краткие теоретические сведения, позволяющие вспомнить основные понятия и законы, приведены формулы, которые используются при решении задач.
Заключительная часть содержит большой набор задач с краткими ответами для самостоятельного решения студентов.
Методическое пособие может быть использовано не только на занятиях , но и с целью предварительной подготовки к экзаменам.
Уравнение, устанавливающее зависимость между параметрами состояния данной массы идеального газа – его давлением p , объемом V и температурой Т , — называется уравнением состояния идеального газа.
Поскольку m / V = p – плотность газа, то уравнение состояния идеального газа можно записать так: p =( m / V )( RT / M ) или p = p ( RT / M ). Д.И.Менделеев в 1874 г., исходя из полученного на сорок лет раньше французским физиком Б.Клапейроном объединенного газового закона: ( p 1 V 1 / T 1 )=( p 2 V 2 / T 2 ).
Объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона): произведение давления данной массы идеального газа на его объем, деленное на абсолютную температуру, есть величина постоянная.
Произведение концентрации n , т.е. числа молекул в единице объема, и объема одного моля газа V моля равно числу молекул в одном моле, т.е. числу Авогадро N А : N А = nV моля .
Вместо двух постоянных: универсальной газовой постоянной R и числа Авогадро N А – была введена постоянная k, равная отношению R / N А . Она получила название постоянной Больцмана:
Физический смысл абсолютной температуры : абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул.
Уравнение состояния идеального газа удобно пользоваться в тех задачах , где речь идет о массе, весе или плотности при неизменных параметрах газа- его давлении, объеме и температуре. Кроме того без этого уравнения не обойтись, когда параметры газа изменяются и при этом изменяется также и его масса .В этом случае надо записать два уравнения Менделеева- Клайперона: для начального состояния газа:
Если при этом какие-либо параметры состояния газа не изменяются, то индекс у этих параметров можно не менять или вообще его не писать. Например, если в некотором процессе с идеальным газом изменяются, скажем, давление и масса газа, а объем и температура остаются прежними, то уравнение Менделеева-Клайперона применительно к первому и второму состояниям можно записать так: p 1 V = m 1 RT / M и p 2 V = m 2 RT / M .
Нужно помнить, что если газ находится в закрытом сосуде, то его объем не изменяется, а если газ может свободно расширяться под действием постоянной силы, то не изменяется его давление. В некоторых задачах говорится о том, что с газом происходит разные процессы, например сжатие или расширение , или изменение давления, но ни слова не сказано о температуре газа ( не говорится о том, что газ нагревается или охлаждается). Значит, следует догадаться самим, что температура газа при этих процессах не изменяется. Кроме того, температуру следует считать постоянной, если в условии сказано об очень медленном процессе в данном газе.
Если масса газа в некотором процессе не изменяется, а изменяются только все параметры состояния этого газа, то вместо двух уравнений Менделеева-Клайперона можно записать одно уравнение, объединяющие эти параметры, -уравнение Клайперона, т.е объединенный газовый закон p 1 V 1 | T 1 = p 2 V 2 | T 2 .
Менделеева-Клайперона можно применить только к каждому газу в отдельности, равно как и все остальные газовые законы, но ни в коем случае ко всей смеси газов. Например, если дана масса смеси из n газов, то эту массу нельзя подставлять в уравнение Менделеева-Клайперона, равно как нельзя подставлять туда же и давление смеси газов равна сумме масс каждого газа в отдельности:
Кроме того, здесь применим закон Дальтона : давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого газа в отдельности ( парциальным давлением называют давление каждого газа, входящего в смесь газов ):
Можно также использовать тот факт, что число всех молекул смеси N равно сумме чисел молекул каждого газа в отдельности:
При этом следует помнить, что если смесь газов занимает сосуд объемом V , то это значит, что каждый газ, входящий в эту смесь, занимает объем V , так как каждый газ равномерно растекается по всему сосуду, не мешая распространяться по этому же объему V другому газу из-за очень больших расстояний между молекулами по сравнению с размерами самих молекул Кроме того, если смесь газов находится при температуре Т, то это значит, что каждый газ смеси имеет эту температуру Т
Из-за неисправности вентиля из баллона вытекает газ.Найти массу вытекшего газа ∆ m , если вначале масса была m 1 , а из-за утечки газа давление в баллоне уменьшилось в n раз.
Решение. Очевидно, что ни объем газа в баллоне, ни его температура не изменяются. Запишем уравнение Менделеева-Клайперона для начального и конечного состояний газа:
Если теперь разделить уравнение (1) на уравнение (2), то неизвестные V , M и Т сократятся и из полученной пропорции мы определим массу m 1 , а затем и разность масс ∆ m :
Воздух объемом V 1 =100 л при температуре t 0 =27 0 C и давлении p =1 МПа превратится в жидкость. Какой объем V 2 он займет в жидком состоянии? Плотность жидкого воздуха p =861 кг/м 3 , его молярная масса в любом состоянии М=0,028 кг/моль.
Решение. Чтобы определить объем жидкого воздуха, надо знать его массу m . Ее мы легко найдем из уравнения состояния идеального газа
Цилиндрический сосуд, расположенный горизонтально, заполнен газом при температуре t 1 =27 0 C и давлении р 1 =0,1 МПа и разделен на равные части подвижной перегородкой. Найти давление газа в цилиндре, если в левой половине газ нагреть до температуры t 2 =57 0 C , а в правой температуру газа оставить без изменения.
Решение: Будем считать, что перегородка непроницаема для газа, тогда масса газа в объеме в обеих частях цилиндра, на которые она его делит, будет оставаться неизменной. Вследствие нагревания газа в левой части он расширится и передвинет перегородку.
При этом изменяется все его параметры: и давление, и объем, и температура. Если до нагревания давление газа как в левой, так и в правой половине цилиндра было равно р 1 , объем газа в них тоже был одинаков и равен V 1 , а температура в них была Т 1 , то после нагревания давление в левой части стало равным р 2 , объем увеличился на ∆ V и стал равен V 2 и температура стала равной Т 2 .
p 1 V 1 | T 1 = p 2 V 2 | T 2 , где V 2 = V 1 +∆ V , поэтому p 1 V 1 | T 1 = p 2 ( V 1 +∆ V )/Т 2 .
В этом уравнении целых три неизвестных величины:р 2, V 1 и ∆ V .Поэтому составим еще одно уравнение , в которое войдут эти величины (заметим, что для решения уравнений с тремя неизвестными надо бы иметь три уравнения, но нам третье уравнение взять просто неоткуда, поэтому остается надеяться, что в процессе решения одно из неизвестных сократится, как уже не раз бывало). Запишем теперь уравнение. выражающее соотношение между параметрами газа, содержащегося в правой части цилиндра. По условию задачи температура в этой части цилиндра не изменилась и масса газа осталась прежней Значит, здесь можно применить закон Бойля-Мариотта( подчеркнем, что поскольку перегородка снова оказалась в равновесии, значит, давление газа р 2 в обеих частях цилиндра снова стало одинаковым):р 1 V 1 = p 2 V 3.
Поскольку объем газа в левой части цилиндра увеличился на ∆ V , то это означает, что в правой части он уменьшился на столько же, т.е тоже на ∆ V . Тогда V 3 = V 1 -∆ V и p 1 V 1 = p 2 ( V 1 -∆ V ).
V 1 +∆ V = p 1 V 1 T 2 / p 2 T 1 , ∆ V = ( p 1 V 1 T 2 / p 2 T 1 )- V 1 = V 1 ( p 1 T 2 / p 2 T 1 -1).
Приравняем правые части получившихся выражений для ∆ V : V 1 ( p 1 T 2 / p 2 T 1 -1)= V 1 (1- p 1 / p 2 ).
Как мы и ожидали, неизвестный объем V 1 сокращается и из оставшегося выражения нетрудно найти искомое давление р 2 :
p 1 Т 2 / p 2 Т 1 -1=1- p 1 / p 2, p 1 Т 2 / p 2 Т 1 + p 1 / p 2 =2, p 1 / p 2 (Т 2 /Т 1 +1)=2
Мы решили задачу в общем виде. Переведем все единицы в СИ: 0,1 МПа=1*10 5 Па, 27 0 С=300 К, 57 0 С=330 К.
Резиновая лодка может выдержать давление надутого в нее воздуха не более р max =112кПа. При этом увеличение объема лодки не должно превышать 5 %. Лодку надули до давления р 1 =106кПа при температуре t 0 1 =10 0 С. Не лопнет ли лодка, когда температура повысится t 0 2 =33 0 С?
Решение: Мы обозначали ∆ V изменение объема лодки, а V 1 – ее первоначальный объем и р 2 – давление воздуха в лодке, когда температура повысится до Т 2 . определив это давление, мы сравним его с максимально допустимым р max , и если оно окажется меньше р max , то лодка выдержит, а если — нет, то лопнет. Масса воздуха в лодке не меняется, а меняется давление в ней от р 1 до искомого р 2 ; объем воздуха в ней тоже изменяется от V 1 при температуре Т 1 до некоторого объема V 2 при температуре Т 2 . значит, для решения задачи воспользуемся объединенным газовым законом (уравнение Клапейрона):
Подставим (2) в (1): p 1 V 1 | T 1 = p 2 *1,05 V 1 | T 2 , p 1 | T 1 = p 2 *1,05| T 2 , откуда р 2 =р 1 Т 2 /1,05 T 1 .
Задача 5. В баллоне находится газ при температуре t °= 17° C . Во сколько раз уменьшится давление этого года, если 20% его выйдет из баллона, а температура при этом понизится на ∆ t °=10° C ?
Решение: Введем обозначение: ∆ m – масса газа, покинувшего баллон, m — первоначальная масса газа, — относительное изменение массы газа в баллоне, p давление в баллоне до выхода из него газа.
Очевидно, что объем газа в баллоне не менялся, несмотря на то, что газ его частично покинул, ведь объем газа в баллоне равен объему баллона, а изменялись давление, температура и масса газа. Запишем уравнение состояния газа применительно к началу и концу процесса выхода газа из баллона:
Решение упражнений к учебнику Г.Я.Мякишева, Б.Б.Буховцева
1. Компрессор, обеспечивающий работу отбойных молотков, засасывает из атмосферы воздух объемом V = 100 л в 1 с. Сколько отбойных молотков может работать от этого компрессора, если для каждого молотка необходимо обеспечить подачу воздуха объемом V1 = 100 см3 в 1 с при давлении р = 5 МПа? Атмосферное давление р0 = 100 кПа.
2. Постройте изотермы для водорода массой 2 г при 0 °С в координатах р, V; V, Т и р, Т.
3. Определите температуру газа, находящегося в закрытом сосуде, если давление газа увеличивается на 0,4% от первоначального давления при нагревании на 1 К.
4. Чему равен объем идеального газа в количестве одного моля при нормальных условиях?
5. Определите массу воздуха в классе, где вы занимаетесь, при температуре 20 °С и нормальном атмосферном давлении. Молярную массу воздуха принять равной 0,029 кг/моль.
6. В баллоне вместимостью 0,03 м3 находится газ под давлением 1,35 • 106 Па при температуре 455 °С. Какой объем занимал бы этот газ при нормальных условиях (t0 = 0 °С, р = 101 325 Па)?
7. Высота пика Ленина на Памире равна 7134 м. Атмосферное давление на этой высоте равно 3,8 • 104 Па. Определите плотность воздуха на вершине пика при температуре 0 °С, если плотность воздуха при нормальных условиях 1,29 кг/м3.
8. На рисунке 10.5 дан график изменения состояния идеального газа в координатах V, Т. Представьте этот процесс на графиках в координатах р, V и р, Т.
9. Выразите среднюю квадратичную скорость молекулы через универсальную газовую постоянную и молярную массу.
10. При переходе газа определенной массы из одного состояния в другое его давление уменьшается, а температура увеличивается. Как изменяется его объем?
Читайте также: