Приближение геометрической оптики справедливо при условии лямбда
Обновлено: 04.07.2024
Геометрическая оптика или лучевая оптика - это модель оптики, которая описывает распространение света в терминах лучей . Луч в геометрической оптике - это абстракция, полезная для приближения путей, по которым распространяется свет при определенных обстоятельствах.
Упрощающие допущения геометрической оптики включают в себя то, что световые лучи:
- распространяются по прямолинейным путям при движении в однородной среде
- изгибаться, и в определенных обстоятельствах может разделиться на две части на границе между двумя разнородными средами
- следовать изогнутым траекториям в среде, в которой изменяется показатель преломления
- могут быть поглощены или отражены.
Геометрическая оптика не учитывает некоторые оптические эффекты, такие как дифракция и интерференция . Это упрощение полезно на практике; это отличное приближение, когда длина волны мала по сравнению с размером структур, с которыми взаимодействует свет. Эти методы особенно полезны при описании геометрических аспектов изображения , включая оптические аберрации .
СОДЕРЖАНИЕ
Объяснение
Когда свет распространяется в пространстве, он колеблется по амплитуде . На этом изображении каждый пик максимальной амплитуды отмечен плоскостью для иллюстрации волнового фронта . Луч является стрелкой , перпендикулярной к этим параллельным поверхностям.
Луч света , является линией или кривой , которая является перпендикулярной к свету в фронтами (и, следовательно , коллинеарны с волновым вектором ). Несколько более строгое определение светового луча следует из принципа Ферма , который гласит, что путь, пройденный лучом света между двумя точками, - это путь, который можно пройти за наименьшее время.
Отражение
Глянцевые поверхности, такие как зеркала, просто и предсказуемо отражают свет. Это позволяет создавать отраженные изображения, которые могут быть связаны с фактическим ( реальным ) или экстраполированным ( виртуальным ) местом в пространстве.
На таких поверхностях направление отраженного луча определяется углом, под которым падающий луч образует нормаль к поверхности - линию, перпендикулярную поверхности в точке, где луч падает. Падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости, а угол между отраженным лучом и нормалью к поверхности такой же, как и между падающим лучом и нормалью. Это известно как закон отражения .
Для плоских зеркал закон отражения подразумевает, что изображения объектов находятся в вертикальном положении и на том же расстоянии за зеркалом, что и объекты перед зеркалом. Размер изображения такой же, как и размер объекта. (The увеличение плоского зеркала равно единице.) Кроме того, закон предполагает , что зеркальные изображения являются четность инвертируется , которая воспринимается как лево-правая инверсия.
Зеркала с изогнутыми поверхностями можно моделировать с помощью трассировки лучей и использования закона отражения в каждой точке поверхности. Для зеркал с параболическими поверхностями параллельные лучи, падающие на зеркало, создают отраженные лучи, которые сходятся в общем фокусе . Другие изогнутые поверхности также могут фокусировать свет, но с аберрациями из-за расходящейся формы, из-за которых фокус размывается в пространстве. В частности, сферические зеркала демонстрируют сферическую аберрацию . Изогнутые зеркала могут формировать изображения с увеличением больше или меньше единицы, а изображение может быть вертикальным или перевернутым. Вертикальное изображение, образованное отражением в зеркале, всегда виртуально, в то время как перевернутое изображение реально и может проецироваться на экран.
Преломление
Преломление возникает, когда свет проходит через область пространства с изменяющимся показателем преломления. Простейший случай преломления возникает, когда существует граница раздела между однородной средой с показателем преломления и другой средой с показателем преломления . В таких ситуациях закон Снеллиуса описывает результирующее отклонение светового луча: п 1 > п 2 >
где и - углы между нормалью (к границе раздела) и падающей и преломленной волнами соответственно. Это явление также связано с изменением скорости света, как видно из определения показателя преломления, приведенного выше, что подразумевает: θ 1 > θ 2 >
где и - скорости волн в соответствующих средах. v 1 > v 2 >
Некоторые среды имеют показатель преломления, который постепенно изменяется в зависимости от положения, и, таким образом, световые лучи изгибаются через среду, а не движутся по прямым линиям. Этот эффект является причиной миражей, наблюдаемых в жаркие дни, когда изменяющийся показатель преломления воздуха заставляет световые лучи изгибаться, создавая видимость зеркальных отражений на расстоянии (как если бы на поверхности водоема). Материал с переменным показателем преломления называется материалом с градиентным показателем преломления (GRIN) и имеет множество полезных свойств, используемых в современных технологиях оптического сканирования, включая копировальные аппараты и сканеры . Явление изучается в области градиентной оптики .
Устройство, которое из-за преломления создает сходящиеся или расходящиеся световые лучи, известно как линза . Тонкие линзы создают точки фокусировки с обеих сторон, которые можно смоделировать с помощью уравнения производителя линз . В общем, существует два типа линз: выпуклые линзы , которые заставляют параллельные световые лучи сходиться, и вогнутые линзы , которые заставляют параллельные световые лучи расходиться. Подробный прогноз того, как эти линзы создают изображения, можно сделать с помощью трассировки лучей, аналогичной изогнутым зеркалам. Подобно изогнутым зеркалам, тонкие линзы подчиняются простому уравнению, которое определяет положение изображений при определенном фокусном расстоянии ( ) и расстоянии до объекта ( ): ж S 1 >
где - расстояние, связанное с изображением, которое по соглашению считается отрицательным, если на той же стороне линзы, что и объект, и положительным, если на противоположной стороне линзы. Фокусное расстояние f считается отрицательным для вогнутых линз. S 2 >
Лучи от объекта на конечном расстоянии фокусируются дальше от линзы, чем фокусное расстояние; Чем ближе объект к линзе, тем дальше от линзы находится изображение. В вогнутых линзах входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что кажется, что они возникли на вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той же стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .
В вогнутых линзах входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что кажется, что они возникли на вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той же стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .
Лучи от объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и на той же стороне линзы, что и объект. Чем ближе объект к объективу, тем ближе виртуальное изображение к объективу.
Лучи от объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и на той же стороне линзы, что и объект.
Точно так же увеличение линзы определяется как
где отрицательный знак по соглашению используется для обозначения вертикального объекта для положительных значений и перевернутого объекта для отрицательных значений. Как и в случае с зеркалами, вертикальные изображения, создаваемые одиночными линзами, виртуальны, а перевернутые изображения реальны.
Линзы страдают от аберраций , искажающих изображения и точки фокусировки. Это связано как с геометрическими дефектами, так и с изменением показателя преломления для разных длин волн света ( хроматическая аберрация ).
Основная математика
В качестве математического исследования, геометрической оптики выступает в качестве кратко- длины волны предела для решений гиперболических дифференциальных уравнений в частных (метод Зоммерфельда-Рунге) или как свойство распространения полевых разрывов в соответствии с уравнений Максвелла (метод Люнебург). В этом коротковолновом пределе решение можно аппроксимировать локально следующим образом:
где удовлетворяют дисперсионному соотношению , а амплитуда изменяется медленно. Точнее, решение ведущего порядка имеет вид k , ω а ( т , Икс )
Фазу можно линеаризовать для восстановления большого волнового числа и частоты . Амплитуда удовлетворяет уравнению переноса . Малый параметр попадает в сцену из-за сильно колеблющихся начальных условий. Таким образом, когда начальные условия колеблются намного быстрее, чем коэффициенты дифференциального уравнения, решения будут сильно колебаться и переноситься вдоль лучей. Если предположить, что коэффициенты в дифференциальном уравнении гладкие, лучи тоже будут. Другими словами, преломления не происходит. Мотивация для этого метода исходит из изучения типичного сценария распространения света, когда коротковолновый свет распространяется вдоль лучей, которые минимизируют (более или менее) время его прохождения. Его полное применение требует инструментов микролокального анализа . φ ( т , Икс ) / ε k знак равно ∇ Икс φ \ varphi> ω знак равно - ∂ т φ \ varphi> а 0 > ε
Метод Зоммерфельда – Рунге
Метод получения уравнений геометрической оптики с использованием предела нулевой длины волны был впервые описан Арнольдом Зоммерфельдом и Дж. Рунге в 1911 году. Их вывод был основан на устном замечании Питера Дебая . Рассмотрим монохроматическое скалярное поле , где может быть любая из составляющих электрического или магнитного поля, и, следовательно, функция удовлетворяет волновому уравнению ψ ( р , т ) знак равно ϕ ( р ) е я ω т , t) = \ phi (\ mathbf ) e ^ > ψ ϕ
Поскольку основной принцип геометрической оптики лежит в пределе , предполагается следующий асимптотический ряд: λ о ∼ k о - 1 → 0 \ sim k_ ^ \ rightarrow 0>
При большом, но конечном значении ряд расходится, и нужно соблюдать осторожность, сохраняя только подходящие первые несколько членов. Для каждого значения можно найти оптимальное количество терминов, которые необходимо сохранить, и добавление большего количества членов, чем оптимальное количество, может привести к более плохой аппроксимации. Подставляя ряд в уравнение и собирая члены разного порядка, находим k о > k о >
Первое уравнение известно как уравнение эйконала , которое определяет эйконал, является уравнением Гамильтона – Якоби , записанное, например, в декартовых координатах, становится S ( р ) )>
Остальные уравнения определяют функции . А м ( р ) (\ mathbf )>
Люнебургский метод
Метод получения уравнений геометрической оптики путем анализа поверхностей разрывов решений уравнений Максвелла был впервые описан Рудольфом Карлом Люнебургом в 1944 году. Он не ограничивает электромагнитное поле специальным видом (в методе Зоммерфельда-Рунге это не так. Ясно, что поле, амплитуда которого зависит от амплитуды, все равно дает уравнение эйконала, т. е. геометрический оптический волновой фронт). Главный вывод такого подхода следующий: ϕ ω
Теорема. Предположим, что поля и (в линейной изотропной среде, описываемой диэлектрической проницаемостью и ) имеют конечные разрывы вдоль (движущейся) поверхности, описываемой уравнением . Тогда из уравнений Максвелла в интегральной форме следует, что удовлетворяет уравнению эйконала: E → ( Икс , у , z , т ) > (х, у, г, т)> ЧАС → ( Икс , у , z , т ) > (х, у, г, т)> ε ( Икс , у , z ) μ ( Икс , у , z ) р 3 ^ > ψ ( Икс , у , z ) - c т знак равно 0 ψ
где - показатель преломления среды (гауссовы единицы). п
Примером такой поверхности разрыва является начальный волновой фронт, исходящий от источника, который начинает излучать в определенный момент времени.
Таким образом, поверхности неоднородности поля становятся волновыми фронтами геометрической оптики с соответствующими полями геометрической оптики, определяемыми как:
Эти поля подчиняются уравнениям переноса, согласующимся с уравнениями переноса подхода Зоммерфельда-Рунге. Световые лучи в теории Люнебурга определяются как траектории, ортогональные поверхности разрыва, и при правильной параметризации можно показать, что они подчиняются принципу наименьшего времени Ферма, тем самым устанавливая тождество этих лучей со световыми лучами стандартной оптики.
Сказанное выше можно обобщить на анизотропные среды.
Доказательство теоремы Люнебурга основано на исследовании того, как уравнения Максвелла управляют распространением разрывов решений. Основная техническая лемма такова:
Техническая лемма. Пусть гиперповерхность (3-мерное многообразие) в пространстве - времени , на котором один или более из: , , , , имеют конечный разрыв. Тогда в каждой точке гиперповерхности верны следующие формулы: φ ( Икс , у , z , т ) знак равно 0 р 4 ^ > E → ( Икс , у , z , т ) > (х, у, г, т)> ЧАС → ( Икс , у , z , т ) > (х, у, г, т)> ε ( Икс , у , z ) μ ( Икс , у , z )
где оператор действует в -пространстве (для каждого фиксированного ), а квадратные скобки обозначают разность значений по обе стороны от поверхности разрыва (настроены в соответствии с произвольным, но фиксированным соглашением, например, градиент, указывающий в направлении величин вычитается из ). ∇ Икс у z т ∇ φ
Схема доказательства. Начнем с уравнений Максвелла вдали от источников (гауссовские единицы):
Используя теорему Стокса в, можно сделать вывод из первого из приведенных выше уравнений, что для любой области в с кусочно гладкой границей верно следующее: р 4 ^ > D р 4 ^ > Γ
где проекция внешней единичной нормали от на 3D среза , и представляет собой объем 3-форма на . Аналогичным образом из оставшихся уравнений Максвелла устанавливается следующее: M → знак равно ( Икс N , у N , z N ) > = (x_ , y_ , z_ )> ( Икс N , у N , z N , т N ) <\ displaystyle (x_ , y_ , z_ , t_ )> Γ т знак равно c о п s т >> d S Γ
Теперь, рассматривая произвольные малые подгруппы поверхности из и создания малых окрестностей вокруг в , и вычитая выше интегралы соответственно, получает: Γ 0 > Γ Γ 0 > р 4 ^ >
где обозначает градиент в 4-мерном пространстве. А поскольку оно произвольно, подынтегральные выражения должны быть равны 0, что доказывает лемму. ∇ 4 D > Икс у z т Γ 0 >
Взяв кросс-произведение первого уравнения и подставив второе, получим: ∇ φ
По второму из уравнений Максвелла, и , следовательно, для точек , лежащих на поверхности только : ∇ φ ⋅ [ ЧАС → ] знак равно 0 >] = 0> φ знак равно 0
(Обратите внимание, что наличие разрыва важно на этом этапе, иначе мы бы делили на ноль.)
Из физических соображений без ограничения общности можно предположить, что это имеет следующую форму:, т.е. двумерная поверхность, движущаяся в пространстве, смоделированная как поверхности уровня . (Математически существует, если по теореме о неявной функции .) Вышеупомянутое уравнение, записанное в терминах, принимает следующий вид: φ φ ( Икс , у , z , т ) знак равно ψ ( Икс , у , z ) - c т ψ ψ φ т ≠ 0 \ neq 0> ψ
который является уравнение эйконала , и это справедливо для всех , , , так как переменная отсутствует. Другие законы оптики, такие как закон Снеллиуса и формулы Френеля, можно получить аналогичным образом, рассматривая разрывы в и . Икс у z т ε μ
Общее уравнение с использованием четырехвекторной записи
В четырехвекторных обозначениях, используемых в специальной теории относительности , волновое уравнение можно записать как
и замена приводит к ψ знак равно А е я S / ϵ >
Следовательно, уравнение эйконала имеет вид
Как только эйконал найден путем решения вышеуказанного уравнения, волновой четырехвектор может быть найден из
1. Физика колебаний и волн. Квантовая физика.
2. Лекция № 4
Приближение Фраунгофера в
задачах дифракции.
1. Условия приближения геометрической оптики, дифракции Френеля
и дифракции Фраунгофера.
2. Волновой параметр .
3. Дифракция плоской монохроматической волны на длинной прямой
щели .
Йозеф ФРАУНГОФЕР
Joseph von Fraunhofer, 1787–1826
Немецкий физик и оптик, уроженец
Штраубинга (Straubing), сын
ремесленника-стеклодува. Рано
осиротев, пошел в подмастерья к
стекольщику. Явление дифракции
Фраунгофер исследовал с чисто
прикладной точки зрения: делом
своей жизни он считал изобретение
идеальных ахроматических линз,
которые не давали бы радужного
ореола вокруг изображения.
Дифракция Фраунгофера или дифракция в
параллельных лучах (дифракция плоских волн)
Схема дифракции Фраунгофера (1821-1822): точечный
источник света помещается в фокусе собирающей линзы;
дифракционная картина исследуется в фокальной
плоскости второй собирающей линзы, установленной за
Дифракция на щели.
препятствием.
Плоская монохроматическая
световая волна падает нормально
на непрозрачное препятствие с
A B
узкой щелью АВ шириной b и
Щель длиной . l b
(бесконечно
С
длинная щель). L - расстояние от
щели до экрана.
Линза
Дифракционная
картина
наблюдается на экране, который
находится
в
фокальной
плоскости собирающей линзы.
Линза
установлена
за
P
Экран
препятствием. Плоскость щели и
экран параллельны друг другу.
Условия приближения геометрической оптики,
дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.
Вид дифракционной картины на экране зависит
от величины волнового параметра
p
L
b
2
L
b
1) Если р > L - широкая щель
b
много больше размеров первой зоны Френеля и
распределение интенсивности света за щелью
можно получить с помощью обыкновенной
геометрической оптики.
2
b
Число Френеля Nф =
~ m ; Nф = р‾² ,
L
где m – число открытых зон Френеля. Nф >> 1.
Условия приближения геометрической оптики,
дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.
Вид дифракционной картины на экране зависит
от величины волнового параметра
p
L
b
2
L
b
2) Если р ~ 1 - будет дифракция Френеля
L
L и распределение
~ 1 или b ~
b
интенсивности в плоскости наблюдения в
этом случае определяется числом зон Френеля,
укладывающихся на полуширине щели.
Число Френеля
b2
Nф =
L
~1 ;
Nф = р‾² ,
Условия приближения геометрической оптики,
дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.
Вид дифракционной картины на экране зависит
от величины волнового параметра
p
L
b
2
L
b
3) Если р >> 1 - будет дифракция Фраунгофера
L
L - “узкая” щель.
>> 1 или b
В каких случаях приближённо справедливы законы геометрической оптики?
Абсолютно точно законы геометрической оптики не выполняются никогда. Это – приближённая модель, описывающая распространение света.
Однако, законы геометрической оптики выполняются достаточно точно при условии, что размеры препятствий на пути распространения света намного превышают длину световой волны.
Приближение геометрической оптики при распространении волн в неоднородной среде. Уравнения эйконала и переноса. Принцип Ферма. Точки поворота луча. Каустика. Лучевые трубки. Условия применимости приближения геометрической оптики. Описание лучевой картины для типичных случаев неоднородности. Оптико–механическая аналогия: взаимосвязь между принципами Ферма и Мопертюи. Постоянная Планка, длина волны де Бройля. Уравнение Шреденгера. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Радиус Бора. Принцип Гюйгенса и дифракция Френеля. Дифракция Фраунгофера.
11.1. Приближение геометрической оптики при распространении волн в неоднородной среде. Уравнения эйконала и переноса. Траектория луча. Принцип Ферма. Точка поворота луча. Геометрическое место точек поворота. Каустика. Лучевые трубки. Уравнение переноса. Уравнения Максвелла описывают все электромагнитные явления, в том числе и оптические. Однако, такой общий подход, как правило, очень сложен. При решении задач нужно учитывать граничные и начальные условия. Точные решения можно получить только в простейших случаях, когда задача характеризуется значительной симметрией. Имеется обширная область переменных полей, в которых уравнения Максвелла могут быть значительно упрощены. Это область очень коротких волн, когда длина волны в первом приближении вообще не фигурирует. Для этого нужно, чтобы длина волны была значительно меньше всех характерных размеров задачи. В этом случае распространение электромагнитного поля происходит вдоль геометрических линий, называемых лучами. Свойства этих лучей в первом приближении не зависят от длины волны. Законы электромагнитного поля формулируются на языке геометрии. Поэтому такая ситуация носит название геометрическая (или лучевая) оптика. Следующее приближение по малому параметру учитывает волновую природу полей. Эти проявления носят общее название дифракционных явлений.
1). Рассмотрим вопрос о распространении электромагнитных волн в неоднородной изотропной среде без пространственной дисперсии и без потерь. Ограничимся случаем гармонических полей. Задача сводится к решению уравнений Максвелла для комплексных амплитуд.
Уравнение для поля получается из первых двух уравнений
Это уравнение перепишем в виде
Уравнение дает представление для . Ниже ограничимся такой поляризацией волны, что . Это позволяет получить уравнение для поля в виде
Рассмотрим простейший вид неоднородности среды: . Согласно условию рассматривается ситуация (волна горизонтальной поляризации) . Поле вне источника описывается однородным скалярным уравнением
Представим волновое число в виде
где - волновое число на уровне (выбор этого уровня произволен, он может выбираться, например, из соображений удобства написания формул), - показатель преломления неоднородной среды. Решение уравнения (11.1) будем искать в виде
Отметим, что это нелинейная замена неизвестной функции, и вместо одной неизвестной функции введено две неизвестные функции и . Это позволяет поставить дополнительное условие на новые неизвестные функции. Учитывая формулы дифференцирования
и принимая во внимание возможность постановки дополнительного условия, уравнение для и разобьем на систему двух нелинейных уравнений
Второе уравнение системы (11.2) называется уравнением переноса. Благодаря нелинейной замене (11.1А), система уравнений (11.2) нелинейная.
После построения решения для эйконала на основе (11.3), второе уравнение системы (11.2) используется для нахождения амплитудной функции .
Уравнение эйконала можно получить другим способом. Покажем как это можно сделать. По существу, представление при условии, что медленно изменяющаяся функция, является описанием квазимонохроматической волны. Поэтому можно ввести понятие локального волнового числа и на основе этого определения получить уравнение эйконала (11.3). В самом деле имеет место определение локального волнового числа
Читайте также: