Найти точечную оценку параметра лямбда
Обновлено: 04.07.2024
Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом моментов используют метод максимального (наибольшего) правдоподобия.
Суть метода: составить по специальной формуле функцию правдоподобия $L$, и найти оценку параметра $theta$ из условия максимизации функции правдоподобия (ФП) на определенной выборке $ $. Иногда ФП заменяют на логарифмическую функцию правдоподобия $l=ln L$ (ЛФП), что облегчает расчеты (вычисление производных).
Оценки, полученные данным методом, будут состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными. Несмещенность оценок надо проверять (это метод не гарантирует).
Примеры нахождения оценок по методу наибольшего правдоподобия вы найдете ниже. Удачи!
Примеры решений
Пример 1. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра p биномиального распределения, если в $n_1$ независимых испытаниях событие A появилось $m_1$ раз и в $n_2$ независимых испытаниях событие A появилось $m_2$ раз.
Пример 2. Используя метод наибольшего правдоподобия, оценить параметры $a$ и $sigma^2$ нормального распределения, если в результате $n$ независимых испытаний случайная величина $xi$ приняла значения $xi_1, xi_2,…,xi_n$.
Пример 3. Случайная величина $X$ (число появлений события $A$ в $m$ независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром $lambda$. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку неизвестного параметра $lambda$ распределения Пуассона.
Пример 4. Случайная величина – время безотказной работы изделия имеет показательное распределение. В таблице приведены данные по времени работы в часах для 1000 изделий. Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра $lambda$.
Пример 5. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку параметра $p$ геометрического распределения: $$P(X=x_i)=(1-p)^ cdot p,$$ где $x_i$ — число испытаний, произведенных до появления события, $p$ — вероятность появления события в одном испытании.
Пример 6. Методом максимального правдоподобия найти точечную оценку параметра $lambda$ по данной выборке
Х 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 17-19
n 5 6 7 15 22 27 30 34 35
при условии, что соответствующая непрерывная случайная величина имеет плотность распределения $f(x)=lambda exp(lambda(x-20)), x le 20$.
Пример 7. Методом максимального правдоподобия найдите оценку параметра $theta$, если плотность имеет вид $$ f(x)=frac > exp (-(x^4-theta)^2/2) $$ и по наблюдениям 1.4 1.5 3.2 1.4 2.5 3.4 3.1 2.4 3.8 2.6
Теория по ММП
Хотите немного больше знать о теоретических основах метода наибольшего правдоподобия для чайников? Тогда используйте ссылки ниже для изучения.
- Метод максимального правдоподобия
Вводятся свойства оценок параметров распределения (несмещенность, состоятельность, эффективность), доказывются теоремы. Далее рассматривается сам ММП, приводится сводная таблица оценок для разных типов распределений. - Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия
Лекция по ММП с теоретическими основами и примерами решений. - Видеоролик МФТИ о ММП
Короткий (буквально 4 минуты) ролик о сути метода. - Список учебников по математической статистике со ссылками
- Решенные контрольные по математической статистике
Метод максимального правдоподобия в excel
мы будем называть плотностью распределения .
Если для дискретного распределения величины со значениями , , ввести считающую меру на борелевской -алгебре как
Если же имеет абсолютно непрерывное распределение, то есть привычная плотность относительно меры Лебега :
Функция (случайная величина при фиксированном )
называется функцией правдоподобия . Функция (тоже случайная)
называется логарифмической функцией правдоподобия.
В дискретном случае функция правдоподобия есть вероятность выборке , , в данной серии экспериментов равняться , , . Эта вероятность меняется в зависимости от :
Оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра называют значение , при котором функция достигает максимума (как функция от при фиксированных ):
Поскольку функция монотонна, то точки максимума и совпадают. Поэтому оценкой максимального правдоподобия (ОМП) можно называть точку максимума (по ) функции :
Напомним, что точки экстремума функции это либо точки, в которых производная обращается в нуль, либо точки разрыва функции/производной, либо крайние точки области определения функции.
Пусть , , выборка объема из распределения Пуассона , где . Найдем ОМП неизвестного параметра .
Поскольку эта функция при всех непрерывно дифференцируема по , можно искать точки экстремума, приравняв к нулю частную производную по . Но удобнее это делать для логарифмической функции правдоподобия:
и точка экстремума решение уравнения: , то есть .
1) Убедиться, что точка максимума, а не минимума.
2) Убедиться, что совпадает с одной из оценок метода моментов. по какому моменту?
Пусть , , выборка объема из нормального распределения , где , ; и оба параметра , неизвестны.
Выпишем плотность, функцию правдоподобия и логарифмическую функцию правдоподобия. Плотность:
логарифмическая функция правдоподобия:
В точке экстремума (по ) гладкой функции обращаются в нуль обе частные производные:
Оценка максимального правдоподобия для решение системы уравнений
Решая, получим хорошо знакомые оценки:
1) Убедиться, что , точка максимума, а не минимума.
2) Убедиться, что эти оценки совпадают с некоторыми оценками метода моментов.
Пусть , , выборка объема из равномерного распределения , где . Тогда (см. [3, пример 4.4, с.24] или [1, пример 5, с.91]).
Пусть , , выборка объема из равномерного распределения , где (см. также [1, пример 4, с.91]).
Выпишем плотность распределения и функцию правдоподобия. Плотность:
Функция правдоподобия достигает своего максимального значения во всех точках . График этой функции изображен на рис. 4.
Рис. 4: Пример 10.
Любая точка может служить оценкой максимального правдоподобия. Получаем более чем счетное число оценок вида
при разных , в том числе и , концы отрезка.
1) Убедиться, что отрезок не пуст.
2) Найти оценку метода моментов (по первому моменту) и убедиться, что она иная по сравнению с ОМП. 3) Найти ОМП параметра равномерного распределения .
Метод максимального правдоподобия с примерами
Методы нахождения оценок
- Метод подстановки;
- Метод моментов;
- Метод наибольшего правдоподобия.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Метод подстановки – это наиболее простой метод отыскания точечных оценок. Он заключается в том, что оценкой неизвестного параметра $Ө$ является соответствующая выбранная числовая характеристика:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
К примеру, по методу постановки оценка математического ожидания – это выборочное среднее, а оценка дисперсии – это выборочная дисперсия.
Все полученные по методу подстановки оценки являются состоятельными, но не гарантирована их эффективность и несмещенность. Пример смещенной оценки – выборочная дисперсия.
Рассмотрим далее метод моментов. Предположим, что $x_1, …, x_n$ – это выборка наблюдений некоторой случайной величины$X$, которая имеет распределение $Fx (x, Ө)$ содержащее вектор неизвестных параметров $Ө =( Ө_1, …, Ө_k)$. Допустим, что для данного распределения можно рассчитать начальные моменты
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
некоторых порядков $r$.
Такие моменты называются функциями соответствующих неизвестных параметров $Ө_1, …, Ө_k$. Однако, для выборки можно рассчитать выборочные начальные моменты
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Метод моментов заключается в том, что необходимо найти такой вектор параметров $Ө$, при котором будут равны теоретические и выборочные моменты, т.е. в решении системы уравнений:
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Число уравнений в данной системе будет равняться количеству неизвестных параметров $k$. Чтобы получить оценки с помощью метода моментов, может быть выбран любой момент произвольного порядка, но, как правило, в практике используются только моменты низших порядков.
Как и при методе подстановок, все оценки, найденные по методу моментов, характеризуются как состоятельные, но не гарантируется их эффективность и несмещенность.
Точечные оценки, найденные при помощи метода моментов, носят название ММ-оценки.
Метод наибольшего правдоподобия рассмотрим в следующем пункте.
Сущность метода максимального правдоподобия
Под методом максимального правдоподобия в математической статистике понимается метод оценки неизвестного параметра посредством максимизации функции правдоподобия. Основой данного метода является предположение о том, что все данные о статистической выборке содержатся в функции правдоподобия. Описываемый метод был проанализирован Р. Фишером в начале 20-го века, который в дальнейшем его рекомендовал и популяризировал.
Оценка наибольшего правдоподобия – это достаточно популярный статистический метод, используемый с целью построения статистической модели на основе информации и обеспечения оценки всех параметров модели.
Метод наибольшего правдоподобия соответствует многим популярным методам статистической оценки. К примеру, вы рассматриваете такой антропометрический параметр, как рост жителей данной страны. Допустим, что вы располагаете данными о росте определенного количества людей, но не всего населения. Помимо этого, допускается, что рост – это нормально распределенная величина со средним значением и неизвестной дисперсией. Дисперсия роста и среднее значение в выборке будут являться максимально правдоподобными к дисперсии и среднему значению всего населения.
Метод наибольшего правдоподобия используются во многих статистических моделях:
- В линейных и обобщенных линейных моделях;
- В факторном анализе;
- При моделировании структурных уравнений;
- Во многих ситуациях, предполагающих проверку гипотезу и доверительный интервал формирования;
- В дискретных моделях выбора и т.д.
Метод наибольшего правдоподобия заключается в том, что оценкой вектора неизвестных параметров
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
который доставляет максимум функции правдоподобия:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Иными словами, сущность метода наибольшего правдоподобия заключается в нахождении такого вектора параметров, при котором была бы наиболее вероятной реализация $x_1, … ,x_n$ случайной выборки $X_1,…, X_n$.
Точечные оценки, получаемые при методе наибольшего правдоподобия, носят название МП-оценки.
Пример использования метода максимального правдоподобия
Пусть необходимо найти при помощи метода максимально правдоподобия оценку заданного параметра p биноминального распределения
Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
если в $n_1$ независимых испытания некоторое событие $A$ появлялось $m_1$ раз, а в $n_2 – m_2$ раз.
Для того, чтобы решить данную задачу, необходимо составить функцию правдоподобия:
Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Затем следует отыскать логарифмическую функцию:
Рисунок 12. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На следующем этапе определяется первая производная p:
Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найденную производную необходимо приравнять к нулю, тем самым записав уравнение правдоподобия.
Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
После относительного решения полученного уравнения находим значение критической точки:
Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данной точке вторая производная будет отрицательной, а, следовательно, данная точка является максимумом. Таким образом найденная точка принимается в качестве оценки по методу максимального правдоподобия неизвестной вероятности p биноминального распределения.
Метод максимального правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.
Дискретные случайные величины.Пусть - дискретная случайная величина, которая в результате опытов приняла возможные значения . Допустим, что вид закона распределения величины задан, но неизвестен параметр , которым определяется этот закон. Требуется найти его точечную оценку
Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина примет значение через .
Функцией правдоподобия дискретной случайной величины называют функцию аргумента :
Оценкой максимального правдоподобия параметра называют такое его значение , при котором функция правдоподобия достигает максимума.
Функции и достигают максимума при одном и том же значении , поэтому вместо отыскания максимума функции ищут, что удобнее, максимум функции .
Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию .
Точку максимума функции аргумента можно искать, например, так:
1. Найти производную
2. Приравнять производную нулю и найти критическую точку - корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия).
3. Найти вторую производную если вторая производная при отрицательна, то - точка максимума.
Найденную точку максимума принимают в качестве оценки максимального правдоподобия параметра
Непрерывные случайные величины.Пусть - непрерывная случайная величина, которая в результате испытаний приняла значения . Допустим, что вид плотности распределения функции задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция.
Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины называют функцию аргумента
Оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины ищут так же, как в случае дискретной случайной величины.
Если плотность распределения непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами и , то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов и :
Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему
Примеры с решениями
Пример 1.Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра (вероятность появления события в одном испытании) биномиального распределения:
где - число появлений события в -м опыте, - количество испытаний в одном опыте, -число опытов.
Решение.В данном случае функция правдоподобия имеет вид:
Учитывая, что и получим
Напишем логарифмическую функцию правдоподобия:
Найдем первую производную по :
Приравняем первую производную нулю и решим полученное уравнение. Получим критическую точку:
Найдем вторую производную по :
Легко проверить, что при вторая производная отрицательна, следовательно, эта точка есть точка максимума и ее надо принять в качестве оценки максимального правдоподобия неизвестной вероятности биномиального распределения:
Очевидно, что если появлений события наблюдалось в опытах, то
Пример 2.Найти методом максимального правдоподобия по выборке точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения, плотность которого
Решение.Составим функцию правдоподобия
учитывая, что и, следовательно,
Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:
Найдем первую производную по
Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю:
Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно
Найдем вторую производную по
Легко проверить, что при вторая производная отрицательна, следовательно, эта точка есть точка максимума. Значит, в качестве оценки максимального правдоподобия надо принять величину, обратную выборочной средней:
Задачи
Задача 1.Случайная величина имеет геометрическое распределение:
где - число испытаний, произведенных до появления события, - вероятность появления события в одном испытании, . Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку параметра .
Задача 2.Найти методом максимального правдоподобия по выборке точечную оценку параметра гамма-распределения (параметр известен), плотность которого
Задача 3.Случайная величина (число появлений события в независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром :
где - число испытаний в одном опыте, -число появлений события в -м опыте ( ). Найти методом максимального правдоподобия по выборке точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.
Интервальные оценки
Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительнымназывают интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал
где - точность оценки, - объем выборки, - значение аргумента функции Лапласа , при котором .
При неизвестном (и объеме выборки )
Примеры с решениями
Решение.Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию . Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном ) при помощи доверительного интервала
Все величины, кроме , известны. Найдем с помощью таблицы распределения Стьюдента. При находим
Подставив в формулу для доверительного интервала, получаем искомый интервал:
Пример 2.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .
Решение.Требуется найти доверительный интервал
Все величины, кроме , известны. Найдем из соотношения По таблице значений функции Лапласа находим . Подставив в формулу для доверительного интервала, окончательно получаем
Пример 3.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.
Решение.Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: . Отсюда
По условию, , следовательно, По таблице значений функции Лапласа находим Используя , находим искомый объем выборки
Задачи
Задача 1.Станок-автомат штампует валики. По выборке объема вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью точность , с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.
Задача 2.Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели с надежностью , зная среднее арифметическое результатов измерений м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Задача 3.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
Оценить с надежностью математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.
Пусть на основе выборки \(X_1,\) \(\ldots\) , \(X_n\) мы каким-то способом получили точечную оценку неизвестного параметра \(\theta\) и обозначили её \(\hat\) . Теперь наша цель состоит в том, чтобы построить асимптотический доверительный интервал для \(\theta\) . Bootstrap предлагает оценить дисперсию \(\hat\) на основе тех же данных, на которых была получена сама оценка \(\hat\) .
“Pull oneself up by one’s bootstraps”: (idiomatic) To succeed only by one’s own efforts or abilities. (Wiktionary)
Построение выборки (Sampling).¶
Вспомним, что построением выборки (sampling) называется выбор элементов генеральной совокупности (какого-то множетства или распределения). Случайная выборка строится путём случайного выбора наблюдений. Случайную выборку можно строить двумя способами:
без возвращения (without replacement, simple random sampling),
с возвращением (with replacement).
Вопросы на подумать:
Можно ли рассматривать построение выборки с возвращением из множества \(\\) как процедуру последовательного подбрасывания восьмигранной кости?
Когда на практике построение выборки с возвращением и без возвращения эквивалентны?
Эмпирическая функция распределения.¶
Также вспомним, что на основе выборки можно построить оценку функции распределения, из которого были взяты наблюдения. Для этого для каждого значения \(x_i\) рассчитывается его доля в выборке.
Построение boostrap-выборки (Resampling).¶
Построением boostrap-выборки (resampling) называется построение выборки с возвращением из эмпирического распределения.
Пример 1: пусть имеется набор чисел \(1\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(10\) , \(11\) , \(11\) , который рассматривается как выборка, взятая из какого-то распределения. Чтобы построить выборку с возвращением из эмпирического распределения, мы должны сложить эти числа в шляпу и не глядя вытаскивать их одно за другим, записывая результат и возвращая число обратно.
Формально: пусть дана выборка \(X_1\) , \(\ldots\) , \(X_n\) . Построением boostrap-выборки называется выбор номера \(i\) из равновероятного на \(\\) распределения и взятие \(X_i\) как одного значения этой выборки.
Продолжение примера 1: пусть мы хотим построить boostrap-выборку размера 3 для чисел из примера 1. Тогда мы можем подбросить семигранную (так как семь наблюдений) кость три раза и, например, получить: $ \( 3, 3, 7, 1 \) \( Тогда boostrap-выборка будет: \) \( 2, 2, 11, 1 \) $
Будем обозначать boostrap-выборку как \(X_1^*\) , \(\ldots\) , \(X_m^*\) .
Эмпирический bootstrap.¶
Выборкой эмпирического bootstrap нызвается boostrap-выборка того же размера, что и оригинальная выборка:
для выборки \(X_1\) , \(\ldots\) , \(X_n\) это \(X_1^*\) , \(\ldots\) , \(X_n^*\) . Тогда boostrap говорит, что \(F \approx F^*\) , а дисперсия статистики, рассчитанной на основе выборки \(X\) , примерно равна дисперсии статистики, рассчитанной на основе \(X^*\) .
1. Reverse bootstrap percentile.¶
Пример 2: пусть дана выборка из некоторого распределения с конечным матожиданием \(\mu\) :
Точечная оценка предполагает нахождение единственной числовой величины, которая и принимается за значение параметра. Такую оценку целесообразно определять в тех случаях, когда объем ЭД достаточно велик. Причем не существует единого понятия о достаточном объеме ЭД, его значение зависит от вида оцениваемого параметра (к этому вопросу предстоит вернуться при изучении методов интервальной оценки параметров, а предварительно будем считать достаточной выборку, содержащую не менее чем 10 значений). При малом объеме ЭД точечные оценки могут значительно отличаться от истинных значений параметров, что делает их непригодными для использования.
Задача точечной оценки параметров в типовом варианте постановки состоит в следующем [3].
Имеется: выборка наблюдений (x1, x2, …, xn) за случайной величиной Х. Объем выборки n фиксирован.
Известен вид закона распределения величины Х, например, в форме плотности распределения f(T, x), где T - неизвестный (в общем случае векторный) параметр распределения. Параметр является неслучайной величиной.
Требуется найти оценку q параметра T закона распределения.
Ограничения: выборка представительная.
Существует несколько методов решения задачи точечной оценки параметров, наиболее употребительными из них являются методы максимального (наибольшего) правдоподобия, моментов и квантилей.
Метод максимального правдоподобия. Метод предложен Р. Фишером в 1912 г. Метод основан на исследовании вероятности получения выборки наблюдений (x1, x2, …, xn). Эта вероятность равна f(х1, T) f(х2, T) … f(хп, T) dx1 dx2 … dxn.
Совместная плотность вероятности
L(х1, х2 …, хn ; T) = f(х1, T) f(х2, T) … f(хn, T),
рассматриваемая как функция параметра T, называется функцией правдоподобия.
Метод предложен К. Пирсоном в 1894 г. Сущность метода:
выбирается столько эмпирических моментов, сколько требуется оценить неизвестных параметров распределения. Желательно применять моменты младших порядков, так как погрешности вычисления оценок резко возрастают с увеличением порядка момента;
вычисленные по ЭД оценки моментов приравниваются к теоретическим моментам;
параметры распределения определяются через моменты, и составляются уравнения, выражающие зависимость параметров от моментов, в результате получается система уравнений. Решение этой системы дает оценки параметров распределения генеральной совокупности.
Сущность метода квантилей схожа с методом моментов: выбирается столько квантилей, сколько требуется оценить параметров; неизвестные теоретические квантили, выраженные через параметры распределения, приравниваются к эмпирическим квантилям. Решение полученной системы уравнений дает искомые оценки параметров.
Дисперсия D(xa) выборочной квантили обратно пропорциональна квадрату плотности распределения D(xa)=[a (1-a )]/[nf 2(xa )] в окрестностях точки xa . Поэтому следует выбирать квантили вблизи тех значений х, в которых плотность вероятности максимальна.
Сущность задачи интервального оценивания параметров
Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами - концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение параметра Т, получила название методов интервального оценивания. К их числу принадлежит метод Неймана.
Общий метод построения доверительных интервалов
Метод позволяет по имеющейся случайной выборке построить функцию и (Т, q ), распределенную асимптотически нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В основе метода лежат следующие положения. Пусть:
f(х, q ) - плотность распределения случайной величины Х;
ln [L(x, q )] - логарифм функции правдоподобия;
; А2 =М(у)2 - дисперсия у. Если математическое ожидание М(у) = 0 и дисперсия у конечна, то распределение случайной величины w = асимптотически нормально с параметрами 0 и 1 при п ®Ґ .
Читайте также: